2.2 式 基本不等 教材的地位与作用 学情分析 教学目标 教学重难 点 教学方法 教学过 程 板书设 计 教材的地位和作用 学情分析 （ 1 ）基本不等式又称为均值不等式， 它是在学完不等式的性质基础上，对不 教学目标 等式的进一步研究，在不等式的证明和 求函数最值等过程中有着广泛的应用， 教学重难点 同时又是高考的热点内容。 （ 2 ）在实际生活中应用也很广泛，可 教学方法 教学过 程 板书设 计 以解决生活中的优化问题。 二、学情分析 已有认知 已经掌握了不等式的性质，比较法证明不等式，能够进 行简单的数与式的比较，对于不等式的学习有一定的基 础，初步具备了简单逻辑思维和抽象概括能力。 不足之处 刚刚步入高一，思维还不够严谨，不太适应高中 的学习，抽象概括和数形结合的能力还有待提高 。 教学难点 使用时容易忽视基本不等式成立的条件 ，解题中形式灵活多变，对高一的学生 来说也是一个难点。 三、教学目标 掌握基本不等式的推导和证明过程，会用基本不等式求最值 。 经历不等式的推导和证明，培养学生善于思考、勤于动手的 好习惯，提升学生的逻辑思维能力。 经历从数的角度探究证明方法，从形的角度探究几何意义 的过程，体会数形结合的思想，培养学生数学抽象、直观 想象和逻辑推理的核心素养 . 四、教学重难点 学情分析 重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角 教学目标 度探索基本不等式证明过程 , 利用基本不等式求最值。 教学重难 点 难点：基本不等式成立的三个限制条件以及应用基本不 教学方法 等式求最值，尤其要注意说明等号成立 的条件验证。 　 教学过程 板书设计 五、教学方法 通过活动 创设情景 学生为主体 教师为主导 启发式 启发 引导 点拨 自主探究式 解决重点 分组讨论、多媒体展示、启发引导 独立思考 自主学习 交流合作 突破难点 重复强调法、变式练习、归纳总结 六、 教学过程 2 3 4 1 创设情景、探究新知 代数证明、得出结论 数形结合、加深理解 典例剖析、巩固提升 5 归纳总结、提高升华 6 课后练习、拓展深 化 1 、创设情景，探究新 知 Ｄ Ｇ Ａ a a 2 +b 2 第 24 届 国 际 数 学 家大会的会标，赵 爽的弦图 Ｆ Ｈ b Ｃ Ｅ Ｂ a 2  b 2 2ab 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 1 、创设情景，探究新 知 一、重要不等式 一般地，对于任意实数 a ， b ，我们有 a 2  b 2 �2ab 当且仅当 a=b 时，等号成立 . 变形公式，再现新知 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过 程 板书设 计 b 思考：如果 a  0, b  0 ，能否用 a 、 b 分别代替a ， ，能得到什么结果？ a b  ab 2 思考：上述采用了什么样变形方法？两个变量的范围？ 设计意图：通过上述不等式的代换，得出基本不 等式，明确基本不等式中变量的范围，渗透了函 数的思想，提升了学生的逻辑思维核心素养 . 基本不等式 a b  ab 2 ( 当且仅当 a  b 算术平均数 a  0, b  0 时 ，等号成 立） �几何平均数 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 设计意 图 引导学生将符号语言转化成文字语言，巩固学 生对基本不等式结构的认识。 2. 代数证明、得出结论 如何证明基本不等式？ 采用分组合作交流，让学生给出不同的证明方法。 学生可能给出的方法： 1. 作差法 2. 分析法 证明： ab � ab 2 要证 只要证 只要证 只要证 a  b �2 ab a  2 ab  b �0  a b  2 �0 上式显然成立，当且仅当 a  b 时，等号成立。 设计意图：通过两种证明过程，充分调动学生的积极性，加强了不等式的证 明。 3 、数形结合，加深理解 D 学情分 析 教学目 标 教学重难点 A C B 如图 ,AB 是圆的直径， C 是 AB 上任一 点， AC=a,CB=b, 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ，连 接 AD,BD, ab 则 CD= 教学方 法 教学过 程 板书设 计 E ab 半径为 2 , . 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 3 、数形结合，加深理解 几何意义：半径不小于半弦。 设计意图：体会数形结合的思想，加深对基本不等式的理解 ，提升学生的数学抽象和直观想象的核心素养。 比较重要不等式与基本不等式的异同 设计意图：加深对两个不等式的记忆和理解。 公式变形 当 a  0, b  0 a  b 2 ab  a b  ab   2   2 思考：式子两侧有什么特点？ 引导学生发现上面两式一边为和， 一边为积的形式 , 可实现 积与和的转化。 设计意图：引导学生熟悉公式变形，为以后灵活使用公式做准 备。 4. 典例剖析、巩固提升 例 1（ 1 ）已知x  0, y  0 此时 且xy 100 x y ，则 的最小值是 _____ ， x __, y __ . x  0, y  0 （ 2 ）已知 此时 x __, y __ . x  y 18 ，且 xy ，求 的最大值——， 设计意图：对例 1 通过板书形式，师生共同探讨使用基本不等式求最值， 让学生初步掌握不等式的应用，要注意引导学生理解用基本不等式求最值 的三个限制条件，尤其要说明等号成立的条件。通过学生讨论，教师引导 形成结论。 结论：已知 x 、y都是正数，求证： (1) 如果积 xy 等于定值 P ，那么当 x  y 时，和x  y 2 P 有最小值 。 时，和xy 1 2 S 有最大值4 。 积定和最小 (2) 如果和 x  y 等于定值 S ，那么当 x  y 和定积最大 一正二定三相等 设计意图：通过小组讨论，教师引导方式，学生归纳出利用不等式 求最值的结论，这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从 特殊到一般过程，加深学生对公式的理解。