解密 05 导数及其应用 高考考点 命题分析 从近三年高考情况来看，导数的概念及 三年高考探源 2021 年全国新课标乙 11 计算一直是高考中的热点，对本知识的考查主 2021 年全国新课标甲 13 要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意 2021 课标全国Ⅰ 7 义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现， 2020 课标全国Ⅰ 6 导数的概念、 有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握 2020 课标全国Ⅲ 10 几何意义及 函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基 2019 课标全国Ⅰ 13 计算 本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数 2019 课标全国Ⅱ 20 的导数． 2019 课标全国Ⅲ 6 导数的应用也一直是高考的热点，尤其 是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高 导数的应用 考考查的重点内容，一般以基本初等函数为载 体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择 题、填空题，也有解答题中的一问，难度一般 较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练 运用导数与函数单调性、极值与最值之间的关 系，理解导数工具性的作用，注重数学思想和 方法的应用． 考查频率 ★★★★★ 2018 课标全国Ⅰ 5 2018 课标全国Ⅱ 13 2018 课标全国Ⅲ 14 2021 课标全国Ⅰ 21 2021 课标全国Ⅱ 22 2021 年全国新课标乙 21 2021 年全国新课标甲 22 2020 课标全国Ⅰ 21 2020 课标全国Ⅱ 21 2020 课标全国Ⅲ 21 2019 课标全国Ⅰ 20 2019 课标全国Ⅱ 20 2019 课标全国Ⅲ 20 2018 课标全国Ⅰ 21 ★★★★★ 2018 课标全国Ⅱ 21 2018 课标全国Ⅲ 21 核心考点一 导数概念及几何意义 ☆技巧点拨☆ 导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第 一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及 解法如下： （1）已知切点 P(x0，y0)，求 y=f (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 k=f ′(x0)解得 x0，再由点斜式 写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f ′(x0)，再 由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率 ， 再由 k=f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程． （5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上． ② 过点 P 的切线即切线过点 P，P 不一定是切点．因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是 否在已知曲线上． x 例题 1．若直线 y  ax  b 与曲线 y  e  x 相切，则 a  b 的最大值为（ ） A． 1 【答案】D B． e  1 C． e D． e  1 x  m, em  m  ， 【分析】：设直线 y  ax  b 与曲线 y  e  x 相切于点 Q y  ex  x  y�  ex  1 ， ， m m m  ln  a  1 可得切线的斜率为 e  1  a ，则 e  a  1 ，所以 ， 又切点  m, e m  m m 也在直线 y  ax  b 上，则 am  b  e  m ，  b  e m  m  am  a  1   a  1 ln  a  1   a  1 � 1  ln  a  1 � � �，  a  b  a   a  1 � � 1  ln  a  1 � � ， 设 g  a   a   a  1 � 1  ln  a  1 � � �， a  1 ，  g�  a   1  ln  a  1 当 1  a  e  1 时， 当 a  e  1 时， 可得 g  a ， g�  a  0 g�  a  0 的最大值为 ， ， g  a g  a 单调递增， 单调递减， g  e  1  e  1 ， 即 a  b 的最大值为 e  1 . 故选：D. 例题 2．若曲线 y  x3  ax 在点  1, a  1 处的切线方程为 B． 3 A．3 y  7x  m ，则 m  （ ） D． 2 C．2 【答案】D 【分析】 y�  3x 2  a ，依题意可得 3 a  7 ，即 a4 ，因为 a 1  7  m 故选：D 例题 3．若 f  x   ex � ln x ，则 f  x 的切线的倾斜角  满足（ ） ，所以 m  2 . A．一定为锐角 B．一定为钝角 C．可能为直角 D．可能为 0° 【答案】A 【分析】 f� ( x)  e x ln x  e x e x ( x ln x  1)  x x ， ( x )  ln x  1 ， 设 g ( x)  x ln x  1 ，则 g � 1 1 0  x  时， x  时， ， 递减， � g ( x ) g ( x )  0 g� ( x)  0 ， g ( x ) 递增， e e 1 1 1 1 1 而 g ( e )  e ln e  1  1  e  0 ，所以 x  0 时， g ( x) �g ( e )  0 ，所以 f � ( x)  0 ， 切线斜率均为正数，倾斜角为锐角． 故选：A． 例题 4．已知 f  x   x ln x ，若过一点  m, n  可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（ ） A． n  m ln m 2 C．  e  n  0 e B． n  m ln m D． m  1 【答案】A 【分析】设切点为 所以，切线方程为 所以， 令  t , t ln t  ，可得 g  t   t  m ln t  n  m 求导得 ，即 f�  x   ln x  1 y   ln t  1 x  t t  m ln t  n  m  0 ，则切线斜率为 f�  t   ln t  1 ， ， ，其中 t  0 ，由题意可知，方程 g  t  0 有两个不等的实根. m t m  t t . ① 当 m �0 时，对任意的 t  0 ， 则方程 f  x y  t ln t   ln t  1  x  t  n  m  ln t  1  t g�  t   1 ，对函数 g  t  0 g�  t  0 ，此时函数 至多只有一个根，不合乎题意； g  t 在  0, � 上单调递增， ， ② 当 m  0 时，当 0  t  m 时， 当 g�  t  0 ，此时函数 g  t 单调递减， g  t  t  0 t  m 时， g � ，此时函数 单调递增. 由题意可得 g  t  min  g  m   m  m ln m  n  m  n  m ln m  0 ，可得 n  m ln m . 故选：A. 例题 5．已知函数 f  x 1 A．  e 的导数为 f�  x ，且 B． 1 f ( x )  2 xf � (e)  ln x ，则 C．1 f  e  （ ） D． e 【答案】B 1 1 1 f� ( x)  2 f � (e)  ，当 f� (e)  2 f � (e)  ，解得 f �  e    ，所 【分析】由 f ( x )  2 xf � (e)  ln x 得 x  e 时， x e e 2 x 2e 以 f ( x)  e  ln x ， f (e)  e  ln e  1 . 故选：B � � � (x ) ，若在 (a, b) 上 例题 6．设函数 f ( x) 在 (a , b ) 上的导函数为 f ( x) ， f ( x) 在 (a, b) 上的导函数为 f � � f� ( x)  0 （ A． 恒成立，则称函数 f ( x) 在 (a, b) 上为“严格凸函数”．在下列函数中，在 (0,  ) 上为“严格凸函数”的是 ） y  ex B． y  x3 C． y  cos x D． y  2sin x 【答案】D 【分析】：对于 A： 对于 B： y  x3 ，则 y  ex ，则 y�  3x 2 ， y�  ex � y�  6x ， � y�  ex  0 ，所以当 恒成立，故 A 错误； x � 0, � 时 � y� 0 恒成立，故 B 错误； �� � � x �� 0, � x �� ,  � � � �   cos x ，所以当  0 ，当  0 ，故 C � 2 �时 y� �2 �时 y� 对于 C： y  cos x ，则 y�  sin x ，则 y� 错误； 对于 D： y  2sin x 则 y�  2 cos x ， � y�  2sin x ，所以当 x � 0,   时 � y� 0 恒成立，故 D 正确； 故选：D 例题 7．设函数 f ( x)  �, 0  � 0, � 是定义在 上的奇函数， f �( x) 为 f ( x) 的导函数，当 x  0 时，  x  2 f ( x) �0 x 1 成立的 x 的取值范围（ x ln x �f � ( x )  f ( x)  0