考点 22 等差数列及其前 n 项和 等差数列是高考考查的重点，是必考点，常考查等差数列的基本量的计算，必须熟练掌握. （1）理解等差数列的概念. （2）掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. （3）了解等差数列与一次函数的关系. 一、等差数列 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．即 an 1  an  d ， d 为常数． 2．等差中项 如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 A  ab ． 2 3．等差数列的通项公式及其变形 以 a1 为首项，d 为公差的等差数列 {an } 的通项公式为 an  a1  (n  1)d ． * 公式的变形： an  am  (n  m)d ， m, n �N ． 4．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式 an  a1  (n  1) d ，可得 an  dn  (a1  d ) ． 令 p  d ， q  a1  d ，则 an  pn  q ，其中 p ， q 为常数． （1）当 p �0 时， ( n, an ) 在一次函数 y  px  q 的图象上，数列 {an } 的图象是直线 y  px  q 上均匀 分布的一群孤立的点，且当 d  0 时数列 {an } 为递增数列，当 d  0 时数列 {an } 为递减数列． （2）当 p  0 时， an  q ，等差数列为常数列，数列 {an } 的图象是平行于 x 轴的直线（或 x 轴）上均 匀分布的一群孤立的点． 二、等差数列的前 n 项和 1．等差数列的前 n 项和 首项为 a ，末项为 a ，项数为 n 的等差数列 {a } 的前 n 项和公式： S n = 1 n n 令p n( a1  an ) n(n  1) =na1  d． 2 2 d d ， q  a1  ，可得 S  pn 2  qn ，则 n 2 2 2 ① 当 p �0 ，即 d �0 时， S n 是关于 n 的二次函数，点 (n, S n ) 是 y =px  qx 的图象上一系列孤立的点； ② 当 p  0 ，即 d  0 时， S n 是关于 n 的一次函数 ( q �0 ，即 a1 �0) 或常函数 (q  0 ，即 a1  0) ， 点 ( n, Sn ) 是直线 y  qx 上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前 n 项和的相关问题． 2．用前 n 项和公式法判定等差数列 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列 {an } 的前 n 项和 S n  an  bn  c ，那么当且仅当 c  0 时，数列 {an } 是以 a  b 为首项， 2a 为公差的等差数列； 2 当 c �0 时，数列 {an } 不是等差数列． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为 d 的等差数列  an  具有如下性质： * （1）通项公式的推广： an  am  ( n  m) d ， m, n �N ． （2）若 m  n  p  q ，则 am + an =a p +a q (m, n, p,q �N* ) ． * 特别地，①若 m  n  2 p ，则 am  an  2a p (m, n, p �N ) ； * ② 若 m  n  t  p  q  r ，则 am  an  at  a p  aq  ar (m, n, p,q,t,r �N ) ． ③ 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 a1  an  a2  an 1  L  ai  an 1i  L . （3）下标成等差数列的项 ak , ak  m , ak  2 m ,L 组成以 md 为公差的等差数列． （4）数列  tan   (t ,  是常数 ) 是公差为 td 的等差数列． （5）若数列  bn  为等差数列，则数列  tan �bn  (t ,  是常数 ) 仍为等差数列． （6）若 a p  q, aq  p ，则 a p  q  0 ． 2．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式易得等差数列的前 n 项和具有如下性质： 设等差数列  an  （公差为 d）和  bn  的前 n 项和分别为 S n , Tn ， （1）数列 { Sn 1 } 是等差数列，首项为 ，公差为 d ． a1 n 2 （2） S k , S 2 k  S k , S3k  S 2 k ,L , S mk  S ( m 1) k ,L 构成公差为 k 2 d 的等差数列． （3）若数列 （4）若数列 （5）  an  共有  an  共有 2n 项，则 2n  1 S偶  S奇  nd 项，则 ， S奇  S偶  an S2 n 1 an S 2 m 1 2m  1 am   � ， T2 n 1 bn T2 n 1 2n  1 bn ． S奇 a  n ． S偶 an 1 ， S奇 n  ( S  nan , S偶  (n  1)an ) ． S偶 n  1 奇 考向一 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法： * * ① 定义法： an1  an  d (n �N ) 或 an  an 1  d (n �2, n �N ) �  an  是等差数列； * ② 定义变形法：验证是否满足 an 1  an  an  an 1 (n �2, n �N ) ； * ③ 等差中项法： 2an 1  an  an  2 ( n �N ) �  an  为等差数列； ④ 通项公式法：通项公式形如 an  pn  q ( p, q 为常数 ) �  an  为等差数列； 2 ⑤ 前 n 项和公式法： S n  pn  qn( p, q 为常数 ) �  an  为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 an , an 1 , an  2 ，使得 2an 1 �an  an  2 即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 典例 1 已知数列  an  ,  bn  满足 bn  an  an 1 ，则“数列  an  为等差数列”是“数列  bn  为等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【 解 析 】 若 数 列  an  是 等 差 数 列 ， 设 其 公 差 为 d1 ， 则 bn 1  bn   an 1  an  2    an  an 1   an 2  an  2d1 ， 所以数列  bn  是等差数列. 若数列  bn  是等差数列，设其公差为 d 2 ，则 bn 1  bn   an1  an  2    an  an 1   an 2  an  d 2 ，不能 推出数列  an  是等差数列. 所以“数列  an  为等差数列”是“数列  bn  为等差数列”的充分不必要条件，故选 A． 【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列  an  为等差数列”能推出“数列  bn  为等差数列”，“数列  bn  为等 差数列”不能推出“数列  an  为等差数列”，从而可得结果. 1．下列说法中正确的是（ a b ） c A．若 ， ， 成等差数列，则 B．若 a ， b ， c 成等差数列，则 a2 ， log 2 a a b c a2 a b c 2a C．若 ， ， 成等差数列，则 D．若 ， ， 成等差数列，则 b2 ， ， ， ， 2b c2 成等差数列 log 2 b b2 ， 2c ， ， log 2 c c2 成等差数列 成等差数列 成等差数列 考向二 等差数列中基本量的求解 1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组) 求解． 2．等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1 ， an ，d，n， Sn ，知其中三个就能求另外两个， 体现了方程的思想． 典例 2 已知 {an } 为等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1  6 ， a3  a5  0 ，则 S6 = _______. 【答案】6 【解析】∵ ∴ {an } 是等差数列，∴ a3  a5  2a4  0 S6  6a1  15d  6 �6  15 �(2)  6 ， ，故填 6． a4  0 ，∴ a4  a1  3d  6 ，解得 d  2 ， 典例 3 在等差数列 {an } 中，a1＝1，S5＝－15. （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）若数列 {an } 的前 k 项和 Sk＝－48，求 k 的值． 【解析】（1）设等差数列 {an } 的公差为 d，则 an  a1  (n  1)d . 由 a1＝1，S5＝－15，可得 5＋10d＝－15，解得 d＝－2， 故 an  1  ( n  1) �(2)  3  2n . （2）由（1）可知 an＝3－2n，所以 S n  n(1  3  2n)  2n  n 2 . 2 2 令 2k  k  48 ，即 k2－2k－48＝0，解得 k＝8 或 k＝－6. * 又 k �N ，故 k＝8. 2．已知 S n 是等差数列  an  的前 n 项和，若 a1  a2  a3  4 ， S6  10 ，则 a3  （ 14 A． 9 16 B． 9 20 C． 9 7 D． 3 ） 考向三 求解等差数列的通项及前 n 项和 1．求解等差