考点 40 椭圆 【命题趋势】 椭圆是高考考查的重点，难点，可能在小题中出现，也经常出现在高考中的压轴题位置， 是高考高分的分水岭.我们复习时必须掌握以下几点： （1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解椭圆的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【重要考向】 一、椭圆定义的应用 二、求椭圆的标准方程 三、椭圆的几何性质及应用 四、直线与椭圆的位置关系 椭圆定义的应用 椭圆的定义 平面上到两定点 F1 , F2 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 F1 F2  2c . 定义式： PF1  PF2  2a(2 a  F1 F2 ) . 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 【巧学妙记】 1 以椭圆 x2 y 2   1(a  b  0) 上 一 点 P( x , y ) ( y �0) 和 焦 点 F1 ( － 0 0 0 a 2 b2 c，0)，F2 (c，0)为顶点的 △ PF1 F2 中，若 �F1 PF2   ，注意以下公式的灵 活运用： （1） | PF1  PF2 | 2a ； 2 2 2 cos  ； （2） 4c | PF1 |  | PF2 | －2 | PF1 || PF2 | � （3） S△ PF1F2  1 | PF1 || PF2 |·sin  . 2 【典例】 1.（2020·深圳实验学校高二月考）在 VABC 中，点 |AC | 和 | BC | 的等差中项，则点 C 的轨迹方程是（ A  2, 0  、点 B  2,0  ，且 | AB | 是 ） x2 y 2  1 A． 16 12 x2 y 2  1 B． 16 12 ( x ��4) x2 y 2  1 C． 64 60 x2 y 2  1 D． 64 60 ( x ��8) 【答案】B 【分析】 由 A 、 B (2, 0) B 的坐标求出 | AB | ，代入 2 | AB || AC |  | BC | ，可知点 C 的轨迹是以 A( 2, 0) ， 为焦点，半长轴长是 8 的椭圆，由此求出其轨迹方程． 【详解】 2 Q 点 A( 2, 0) 、点 B (2, 0) ，| AB | 4 ， 解： | AB | 则 | AC | 是 和 | BC | 的等差中项， 2 | AB || AC |  | BC | 8 ，  点 C 的轨迹是以 A(2, 0) ， B (2, 0) 为焦点，半长轴长是 4 的椭圆（去掉长轴上的顶 点）． 则 a4 ， c  2  b 2  a 2  c2  12 ， ． x2 y2   1( x ��4)  点 A 的轨迹方程是： 16 12 故选：B． 2.（2021·安徽宿州市·高二期末（理））在 VABC 中，已知 VABC 的周长为 16，则顶点 A B  3, 0  ， C  3, 0  且 的轨迹方程是（ ） x2 y2   1 x �0  A． 25 16 x2 y2   1 x �0  B． 16 25 x2 y2   1 y �0  C． 25 16 x2 y 2 D． 16  25  1 y �0  【答案】C 【分析】 由周长得到 AB  AC  10  6 ，利用椭圆定义写出点 A 的轨迹方程. 【详解】 由条件可知 AB  AC  BC  16  AB  AC  10  6 ， BC  6 ， ， 3  点 A 是以 B, C 为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且 2a  10, 2c  6 ，  a 2  25, c 2  9 ， b  25  9  16 2 x2 y 2   1 y �0  .  顶点 A 的轨迹方程是 25 16 故选：C x2 y2   1(0  b  10) 3.（2021·浙江高二期末）已知 F1 , F2 分别为椭圆 100 b 2 的左、右焦点， P 是椭圆上一点． （1） PF1  PF2 的值为________； （2）若 �F1 PF2  60�，且 △ F1 PF2 的面积为 【答案】20 64 3 3 ，求 b 的值为________． 8 【分析】 （1）根据椭圆的定义，直接求即可得解； （2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解. 【详解】 x2 y2  2  1(0  b  10) （1）由 100 b 知 a 2  100, a  10 ， PF1  PF2  2a  20 （2）设 ， PF1  m, PF2  n ， 2 F1F2  m 2  n 2  2mn � cos �F1 PF2 ， 可得 4c 2  (m  n) 2  3mn  4a 2  3mn ， 4 4b 2 mn  所以 3 ， S  所以 VF1PF2 所以 b8 1 3 3 2 64 3 mn � sin �F1PF2  mm  b  2 4 3 3 ， ， 故答案为：（1）20；（2）8. 求椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 x2 y 2 焦点在 轴上， 2  2  1( a  b  0) ； x a b 焦点在 y 轴上， y 2 x2   1( a  b  0) . a 2 b2 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 a, b, c 之间的大小关系 和等量关系： a  c  b , a  b  0, a  c  0 . 2 2 2 【巧学妙记】 5 求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐 标轴都有可能（这时需要分类讨论）. x2 y 2 第 二 步 ， 设 方 程 . 根 据 上 述 判 断 设 方 程 为 2  2  1(a  b  0) 或 a b y 2 x2   1(a  b  0) . a 2 b2 第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 a, b, c 的方程组（注意椭圆中固有的等 2 2 2 式关系 c  a －b ）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 【典例】 4.（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 其长轴长为 4，焦距为 2，则 C 的方程为（ C ， ） x2 y 2  1 A． 16 12 x2 y 2 y2 x2  1  1 B． 16 12 或 16 12 x2 y 2  1 C． 4 3 x2 y 2 y2 x2   1  1 D． 4 或 4 3 3 【答案】D 【分析】 由椭圆中 a，b，c 的关系求出短半轴长 b 的值，再按焦点位置分别写出所求方程. 6 【详解】 因椭圆 C 中心在原点，其长轴长为 4，焦距为 2，则 a  2 ， c  1 ， b  a2  c2  3 ， x2 y 2  1 当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆方程为： 4 ， 3 y2 x2  1 当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆方程为： 4 ． 3 故选：D 5.（2021·全国高二单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且 椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ） x2 y 2  1 A． 16 7 y2 x2  1 B． 16 7 x2 y 2 C． 25  16  1 y 2 x2  1 D． 25 9 【答案】B 【分析】 根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得 c  3 ，由椭圆定义求得 a ，由 b2＝a2－c2，求 b 得 ，即可得出结果. 【详解】 解：∵椭圆的焦点在 y 轴上， y2 x2   1( a  b  0) ∴可设它的标准方程为 a 2 b 2 ． ∵ 2a  (4  3) 2  (4  3) 2  8, ∴a＝4，又 c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7， 7 y 2 x2  1 故所求的椭圆的标准方程为 16 7 ． 故选：B． 6.（2021·全国高二单元测试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点在坐标轴上，且经过 A( （2）a＝4，c＝ 3 ，－2)和 B(－2 3 ，1)两点； 15 ； x2 y 2  1 （3）过点 P(－3，2)，且与椭圆 9 有相同的焦点． 4 2 x x2 y 2 y2 x2 y 2 2 2  y  1   1 ；（2）  x  1 ；（3）   1． 【答案】（1） 或 16 16 15 10 15 5 【分析】 （1）利用待定系数法求得椭圆方程； b （2）求得 ，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程； 2 （3）首先求得 c ，然后利用 P 点坐标求得 a 2 , b2 ，由此求得椭圆方程. 【详解】 （1）设所求椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 由A     3, 2 和 B 2 3,1 两点在椭圆上可得   2 � m� 3  n� (2) 2  1 � 3m  4n  1 � � ，即 � ， 2 2 � (2 3)  n � 1 1 12m  n  1 �m � � � 1 m � � 15 解得 � ． �n  1 � 5 8 x2 y2  1 故所求椭圆的标准方程为 15 ． 5 （2）因为 a＝4， c  15 所以 b2＝a2－c2＝1， b  1 x2  y 2  1 ；当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准 所以当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程是 16 y2  x2  1 方程是 16 ． x2 y 2  1 （3）因为所求的椭圆与椭