《导数的概念及其意义》随堂训练 一、夯实基础 知识点 1：平均变化率 1．一物体的运动方程是 A．0.41 s  3  t2 ，则 t 在  2, 2.1 B．4.1 内的平均速度为（ C．0.3 ） D．3 y 2．函数 y  f  x   2 x 2  1 在区间  1,1  x  上的平均变化率 等于（ x B． 4  2x A．4 C． 4  2  x  2 ）． D． 4x 知识点 2：求瞬时速度 3．已知物体做直线运动的方程为 s  s t ，则 s�  4   10 表示的意义是（ ） A．经过 4s 后物体向前走了 10m B．物体在前 4 秒内的平均速度为 10m/s C．物体在第 4 秒内向前走了 10m D．物体在第 4 秒末的瞬时速度为 10m/s 4．已知物体做自由落体的运动方程为 s  1 2 gt ，且 无限趋近于 0 时， t 2 s(1  t )  s  1 t 无限趋近于 9.8m/s．那么关于 9.8m/s 正确的说法是（ A．物体在 0~1s 这一段时间内的速度 B．物体在 1 ~  1  t  s 这一段时间内的速度 C．物体在 1s 这一时刻的速度 D．物体从 1s 到  1  t  s 这一段时间内的平均速度 知识点 3：导数的概念 lim 5．设 f  x  在 x  x0 处可导，则 h�0  x0  A． 2 f � C． f�  x0  f  x0  h   f  x0  h   2h （ 1 B． 2 D． f�  x0  4f�  x0  ）． ）． 6．函数 y  f  x x  x0 在 处的导数可表示为 y� x x 0 � A． f  x0   f  x0  x   f  x0  C． f�  x0   lim x �0 ，即（ f� �f  x0  x   f  x0  �  x0   lim � x �0 � B． f  x0  x   f  x0  x ）． f�  x0   D． f  x0  x   f  x0  x 知识点 4：求函数在某点处的导数 7．设 f  x  为可导函数，且当 x � 0 时， 点  1,  f 1   处的切线斜率为（ f  1  f  1  x  � 1 2x ，则曲线 y  f  x  在 ） B． 1 A．2 8．函数 f  x   1 在 处的导数为（ 2x x  2 B． 1 A．2 D． 2 C．1 ） C． 2 1 4 D．  1 8 知识点 5：导数的几何意义及其应用 9．下面说法正确的是（ A．若 f�  x0  B．若曲线 C．若 D．若曲线 不存在，则曲线 y  f ( x) f�  x0  ） 在点 在点 在点  x , f  x   处没有切线 0 0  x , f  x   有切线，则 f � x  必存在 0 不存在，则曲线 y  f ( x) y  f ( x) 0 y  f ( x) 0 在点  x , f  x   处的切线斜率不存在 0 0  x , f  x   处没有切线，则 f � x  有可能存在 0 0 0 (2)  （ 10．如图，函数 y  f ( x) 的图象在点 P (2, y ) 处的切线是 l，则 f (2)  f � ） A．-3 B．-2 C．2 11．函数 f(x)的图象如图所示，则（ D．1 ） A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2) 12．若曲线 f(x)＝x2 的一条切线 l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则 l 的方程为（ A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 ） 二、高考真题 13．（2021.全国卷Ⅰ卷）若过点  a, b  可以作曲线 b A． e  a C． 0  a  e y  ex 的两条切线，则（ ） a B． e  b D． 0  b  e b a 14．（2020.高考全国卷Ⅰ卷文数）曲线 y  ln x  x  1 的一条切线的斜率为 2，则该切 线的方程为______________. 三、综合提升 15．已知曲线 S： y  x 3  2 x （1）求曲线 S 在点 A(2，4)处的切线方程； （2）求过点 B(1，—1)并与曲线 S 相切的直线方程. 16．已知函数 y  f  x   x3  x  2 线 l 的方程及切点坐标． ，直线 l 为曲线 y  f  x 的切线，且经过原点，求直 参考答案 1．B v s 3  2 � 12  3  22   4.1 t 2.1  2 ， 2．B 因函数 y  f  x   2x2  1 ，则 f  x 在区间  1,1  x  上的函数增量 y 有： y 2 2 y  f  1  x   f  1  2  1  x   1   2  1  4x  2  x  ，于是有 x  4  2x ， 所以所求平均变化率 y 等于 4  2x . x 3．D 解：由导数的意义知 s�  4   10 表示物体在第 4 秒时的瞬时速度为 10m/s． 4．C s  1  t   s  1 t 由平均速度的概念， 表示的是 1 ~  1  t  s 这一段时间内的平均速度，其极 限值即 lim t �0 s  1  t   s  1  9.8m/s t ，表示 t  1 这一时刻的瞬时速度． 5．C 解：∵ ∴ lim h �0 f  x 在 x0 处可导， f  x0  h   f  x 0  h   f�  x0  2h ， 6．C y� x x 0 是 f�  x0  的另一种记法，根据导数的定义可知 C 正确． 7．D 解：由导数的几何意义，点  1,  f 1   处的切线斜率为 f� (1) ， f  1  f  1  x  � 1 2x 因为 x � 0 时， ， 所以 f  1  f  1  x  f� (1)  lim x x �0 所以在点  1,  f 1    2 lim x �0 f  1  f  1  x  2 x  2 ， 处的切线斜率为 2 ， 8．D lim f  x  x x �0  lim f  2  x   f  2  x x �0  lim  x �0 1 1  2  2  x  2 �2 x 1 � 1 �1  lim �  � �  ，所以函 x �0 � 2 4  2 x � 8 1 数 f  x  在 x  2 处的导数为  . 8 9．由 f�  x0  的几何意义可知，若 f�  x0  不存在，则曲线 y  f ( x) 在  x , f  x   处切线的斜 0 0 率不存在，故 A 错误，C 正确； 若曲线 y  f ( x) 在点  x , f  x   有切线，该切线斜率不一定存在，所以 f � x  不一定存在， 在点  x , f  x   处没有切线，则 f � x  一定不存在，故 D 错误. 0 0 0 故 B 错误； 若曲线 y  f ( x) 如 f  x   x 中， 0 f ' x   0 0 1 2 x ，当 x  0 时， f '  0  不存在，但 f  x  在 x  0 时的切线方程 为 x  0 ，切线斜率不存在.故 A、 B 错. 10．D 解：由题图可得函数 y  f ( x) 的图象在点 P 处的切线与 x 轴交于点 (4, 0) ，与 y 轴交于点 (0, 4) ，则切线 l:x y 4 ，  f (2)  2 ， f� (2)  1 f (2)  f � (2)  2  1  1 ， ， 11．C 由函数的图象可知，曲线在点 A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为 kC>kB>kA，故 f′(3)>f′(2)>f′(1). 12．A 设切点为(x0，y0)， 因为 f�  x ＝2x. 由题意可知，切线斜率 k＝4，即 f�  x0  ＝2x0＝4， 所以 x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0， 13．D 在曲线 y  e 上任取一点 x 所以，曲线 y  ex 由题意可知，点 令 当 t  a 时， 所以，  a, b  在直线 ，则 f�  t  0 f�  t  0 由题意可知，直线 ，此时函数 ，此时函数 yb f  t  0 y  e t  et  x  t  y  et x   1  t  et f�  t    a  t  et f  t  max  f  a   e a 当 t  a  1 时， x � x ，对函数 y  e 求导得 y  e ， 在点 P 处的切线方程为 f  t    a  1  t  et 当 t  a 时， P  t , et  f  t f  t 上，可得 ，即 y  et x   1  t  e t