第十四章 选 考 内 容 坐 标 系 与 参 数 方 程 一、2017 年考试大纲 坐标系与参数方程 （1）坐标系 ① 理解坐标系的作用。 ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系 中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化。 ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的 圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解 用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标 系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。 （2）参数方程 ① 了解参数方程，了解参数的意义。 ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 ③ 了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。 二、真题汇编 1. 【 2016 课 标 1 理 23 】 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 �x  a cos t � �y  1  a sin t Error: Reference source not found（t 为参数，a＞0）.在以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cos θ. （Ⅰ）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tan α0=2，若曲线 C1 与 C2 的 公共点都在 C3 上，求 a. 2. 【2016 课标 2 理 23】在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6） 2+y2=25. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 Error: Reference source not found（t 为参数）， l 与 C 交于 A，B 两点，∣AB∣= 10 Error: Reference source not found，求 l 的 斜率. 3. 【 2016 课 标 3 理 23 】 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 �x  3 cos  , ( 为参数) � �y  sin  , ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 ，   sin(  )  2 2 4 . C C （Ⅰ）写出 1 的普通方程和 2 的直角坐标方程； 曲线 C2 的极坐标方程为 （Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. C 4. 【 2015 课 标 1 理 23 】 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 1 :  x  1 2   y  2  1 （Ⅰ）求 2 C1 ， x =  2 ， 圆 C2 ： ,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. C2 的极坐标方程；      �R  C C C 4 （Ⅱ）若直线 3 的极坐标方程为 ，设 2 与 3 的交点为 M , N ,求 C2 MN 的面积. 5. 【2015 课标 2 理 23】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （t 为参数，t≠0）， 其中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ=2sinθ，C3：ρ=2 cosθ． （1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （2）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． （t 为参数） 6. 【2014 课标Ⅰ理 23】已知曲线 C： + =1，直线 l： （Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大 值与最小值． 7. 【2014 课标 2 理 23】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ，θ∈[0， ] （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，根据 （1）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标． 8.【2013 课标Ⅰ理 23】已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ． （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π） 9．【2013 课标 2 理 23】已知动点 P，Q 都在曲线 C： 上，对应参数分别为 β=α 与 β=2α（0＜α＜2π），M 为 PQ 的中点． （Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程 （Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原 点． 10.【2012 课标理 23】已知曲线 C1 的参数方程是 （φ 为参数），以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的极坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）． （1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 三、详解品评 1. 【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及交点问题 y − 1¿ 2=a 2 . x 2+ ¿ 【解析】（Ⅰ）消去参数 t 得到 C1 的普通方程 C1 是以 (0,1) 为圆心， a 为半径的圆. 将 x=ρ cos θ , y=ρ sin θ 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 2 2 ρ − 2 ρsin θ+1 − a =0 . ρ2 − 2 ρ sin θ+1 −a 2=0 , （Ⅱ）曲线 C 1 , C 2 的公共点的极坐标满足方程组 ρ=4 cos θ , 2 2 若 ρ ≠0 ，由方程组得 16 cos θ −8 sin θ cos θ+1 − a =0 ，由已知 tan θ=2 ， 可 得 16 cos2 θ −8 sin θ cos θ=0 ， 从 而 1− a2=0 ， 解 得 a=−1 （ 舍 去 ） ， a=1 . a=1 时，极点也为 C1 , C2 的公共点，在 C3 上.所以 a=1 . { 【试题分析与点评】： “互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想 ,解题时应熟记极坐标方 程与参数方程的互化公式及应用 .在解决极坐标和参数方程的时候，不一定转化为直角 坐标的普通方程，可直接由参数方程或极坐标方程解决问题，如这道题的解交点。 2.【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，弦长公式 【 解 析 】 （ Ⅰ ） 由 x   cos  , y   sin  可 得 圆 C 的 极 坐 标 方 程  2  12  cos   11  0. （Ⅱ）法一：在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为    (  �R ) .  , , 设 A, B 所对应的极径分别为 1 2 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得  2  12  cos   11  0. 于是 1   2  12cos  , 1 2  11, | AB || 1   2 | ( 1   2 ) 2  4 1 2  144 cos 2   44, 由 | AB | 10 得 3 15 15 15  cos 2   , tan   � 3 . 8 3 ，所以 l 的斜率为 3 或 法二：因为直线 l 的参数方程是 所以直线 l 的一般方程 y=tanα•x， 因为 l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|= （t 为参数）， ，圆 C 的圆心 C（﹣6，0），半径 r=5， 所以圆心 C（﹣6，0）到直线距离 d= = ， 解得 tan2α= ，所以 tanα=± =± ．所以 l 的斜率 k=± ． 【试题分析与点评】： 极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要 注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互 化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性，在参数方程化为普通方程时，含 有多个字母，一定要看清参数是哪一个。 问题二可在极坐标系下解，也可在直角坐标 系下解，注意这两种方法的选择。在极坐标下的两点间的距离公式 若 A( 1 , 1 ), B(  2 ,  2 ), 则 | AB | 12   2 2  2 1 2 cos (1   2 ), 如 果 直 线 过 极 点 ， 则 交 的 弦 长 为 | AB || 1   2 | ( 1   2 )2  4 1 2 3. 【考点】椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，方程之间的互化，点到直线的距离． x2  y2  1 C C 【解析】（Ⅰ） 1 的普通方程为 3 . 2 的直角坐标方程为 x  y  4  0 . C （Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos  ,sin  ) .因为 2 是直线，所以 | PQ | 的 最 小 值 即 为 P到 C2 的 距 离 d ( ) 的 最 小 值 ， | 3 cos   sin   4 |π  2 | sin(  )  2 | 3 2 . π   2π( k  )k �Z 6 当且仅当 时， d ( ) 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐 3 1 ( , ) 标为 2 2 . d ( )  【试题分析与点评】： 本题来自教材选修 2-1 第 47 页例 7,选修 4-4 第 28 页例 1 改编。一般地，涉及椭 圆上的点的最值问题 、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时 ，可考虑利用 椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为 (a cos  , b cos  ) ，将其转化为三角问题进行 求解． 4.【考点】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系的弦长问题。 【解析】（Ⅰ）因为 x   cos