2017 年高考数学文化内容预测五：角谷猜想 一、高考考试大纲数学大纲分析及意义 2017 年普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修 订提出以下建议： 建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中 渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与 数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。 其主要意义为： （1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值 观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. （2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵 方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求. 二、往年新课标高考实例解析 分析一、古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景 近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学 相映的题材背景． （1）2015 年高考全国卷Ⅰ，文化题源于《九章算术》卷第五《商功》之 [二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合． （2）2015 年高考全国卷Ⅱ，文化题源于《九章算术》卷第一《方田》之 [六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副 置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为 “更相减损术”． （3）2015 年高考湖北卷，文化题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之 [一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑， 下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑” 相结合，以《选修 2－1》P109 例 4 为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设 问，和谐优美的考题呼之即出. 分析二：课后阅读或课后习题阿波罗尼圆为背景 从 2005-2013 年多次涉及考题，全国卷 2011 年 16 题以此为命题背景的 其他省市：江苏：2008 年 13 题、2013 年 17 题.2009-2013 年湖北高考连 续出现等等. 三、2017 年数学文化考试预测 预测一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化 类题目. 预测二：高等数学衔接知识类题目. 微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接. 预测三：课本阅读和课后习题的数学文化类题目. 必修 3 中：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。。。 预测四：中外一些经典的数学问题类题目. 如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等问题值得 注意。 四、直击高考经典 2009 年湖北理科第 15 题——角谷猜想 已知数列{ an }满足： a1 m （ m 为正整数）， ，则 m 所有可能的取值为 　4，5，32　． 考点：数列递推式。 a n 1  an 当a n 为偶数时   2  3a  1当a 为奇数时 n  n 若 a 6 1 a1 m a m m a2  a3  2  分析：若 a1 m 为偶数，则 2 为偶，故 2 ， 2 4 ，当 4 仍为偶数时，能 m 推导出 m 32 ；当 4 为奇数时，能推导出 m 4 ；若 a1 m 为奇数，可得 m 5 ． a1 m a m a2  a3  2  解答：解：（1）若 a1 m 为偶数，则 2 为偶，故 2 ， 2 4 m m m m a 4   a6  1  m 32 ① 当 4 仍为偶数时， . 8 32 故 32 3 3 m  1 m 1 m 3 4 4 1 得 ② 当 为奇数时, a4 3a3  1  m  1 a6  故 ． m 4 4 4 4 , 4 （2）若 a1 m 为奇数，则 a2 3a1  1 3m  1 为偶数，故 … a6  a3  3m  1 2 必为偶数 3m  1 3m  1 1 可得 m 5 ． 16 ，所以 16 故答案为：4，5，32． 点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式 的合理运用． 五、背景展现 20 世纪 70 年代美国各大学师生夜以继日、废寝忘食、发疯般地玩弄一种数 字游戏，这种游戏如此简单，任何小学生不用一分钟就能学会。 任意写出一个 自然数 N ，请按照下列法则进行变换，如果 N 是一个奇数，则下一步变为 3 N +1；如果 N 是一个偶数，则下一步变成。岁月流逝，这种游戏的魅力依 然存 在，因为人们发现，无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落入谷底， 更准确的说是落入底部的 4-2-1 循环，而永远也跳不出这个圈子。日本角谷静 夫统计，小于 7×1011 的一切自然数都已经统统实验过，没有出现过一个反 例，基于角谷静夫对该问题所做出的贡献，因此该数学游戏称为角谷猜想。 冰雹猜想（又称角谷猜想） 冰雹猜想来历 1976 年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记 叙了这样一个故事： 70 年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日， 废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数 N ， 并且按照以下的规律进行变换： 如果是个奇数，则下一步变成 3 N +1。 N 如果是个偶数，则下一步变成 2 。 不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这 种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论 N 是怎样一个数字，最终都无法 逃脱回到谷底 1。准确地说，是无法逃出落入底部的 4-2-1 循环，永远也逃不 出这样的宿命。 这就是著名的“冰雹猜想”。 强悍的 27 冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授 John Conway 找到了 一个自然数 27。虽然 27 是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进 行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27 要经过 77 步骤的变换到达顶峰 值 9232，然后又经过 34 步骤到达谷底值 1。全部的变换过程（称作“雹程”） 需要 111 步，其顶峰值 9232，达到了原有数字 27 的 342 倍多，如果以瀑布 般的直线下落（2 的 N 次方）来比较，则具有同样雹程的数字 N 要达到 2 的 111 次方。其对比何其惊人！ 但是在 1 到 100 的范围内，像 27 这样的剧烈波动是没有的（54 等 27 的 2 的次方倍数的数除外。 验证规律 经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具 4k 和 3m  1 （ k.m 为自然数）处 的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16 处是第一处分 叉，然后是 64……以后每隔一节，产生出一支新的支流。 自从 Conway 发现了神奇的 27 之后，有专家指出，27 这个数字必定只能 由 54 变来，54 又必然从 108 变来，所以，27 之上，肯定可以出现不亚于 2n 的强大支流——33  2n ( n =1，2，3……)，然而，27 到 4-2-1 数列和本流 2 到 4-2-1 数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从 27 开始逆流而上的数 列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把 1-2-4- 8…… 2n 的这一支看作是“干流”。 等差数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方 法，是以无限的等差数列来对付无限的自然数。首项偶数，公差是偶数，那么 数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于 2，如果首项是奇数公差是偶 数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上 3 再加 1。如果公差是奇数， 首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上 3 再加 1，第偶数项必定都 是偶数,则除于 2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶 数，则除于 2，第偶数项必定都是奇数，则乘上 3 再加 1。按照这样的计算规 则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式 是 2n ，因为都是偶数所以除于 2，得到 n ，这就是自然数。 按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是 能被 3 整除的奇数，也有可能是不能被 3 整除的奇数。但是所到达所归结的第 二个奇数，以及第三个奇数（假设存在），整个过程所到达所遇到所归结所访 问到的每一个奇数，必定都不能再被 3 整除了。如果都从从能被 3 整除的奇数 开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再 被 3 整除了，最终都能归结于 1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学 的概念）。如果都从不能被 3 整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达 所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被 3 整除了，最终都归结于 1（等于说是漏下能被 3 整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验 证过程中，可以把能被 3 整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1 是终止点的 奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1 是最起始点的奇数，而 能被 3 整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被 3 整除 的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占 1/3 的比例是能被 3 整除的 奇数，占 2/3 的比例是不能被 3 整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇 地巧合了. 又称角谷猜想，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。