百日冲刺 2016 年高考数学主干知识突破专题八： 函数与导数 高考对数学基础知识的主干考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础 是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一 定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握 定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变 ,所以主 干知识的内容是高考的重点内容，也是高考的得分点。 函数与导数是高考的必考主干内容。高考主要考查导数研究导数的几何 意义，函数的单调性、极值、最值、恒成立问题、证明不等式。在选择题、 填空题中主要考查通过函数的构造解决函数的性质问题，特别注意圆锥曲线 的方程和离心率等问题。解答题一般考查方程和直线与圆锥曲线的位置关系 问题，特别注意垂直、弦长、面积、定点、定值、范围、最值、存在性问题 等。一般有两个小题，一个大题，分值在 22 分左右，在二轮中要力求突破。 一、2016 年考试大纲分析 　　（1）了解导数概念的实际背景. 　　（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义. 1 （3）根据导数的定义求函数 y  C (C 为常数)， y  x ， y  ， y  x 2 ， y  x3 ， x y  x 的导数. （4） 能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单的复合函数（仅限于形如 f(ax+b)的复合函 数）的导数.  常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：  nx n 1 （ n �N ）； (C ) �  0 （C 为常数）； ( x n )� (sin x)�  cos x ； (cos x)�   sin x ； (e x )�  e x ； ( a x )�  a x ln a( a  0，且a �1) ； 1 1 (log a x)�  log a e (a  0，且a �1) . x； x  常用的导数运算法则： � � � 法则 1： [u ( x) �v ( x )]  u ( x ) �v ( x) ． (ln x)�  � � � 法则 2： [u ( x )v ( x)]  u ( x )v ( x)  u ( x)v ( x) . u ( x) u� ( x )v ( x )  u ( x )v � ( x) [ ]�  2 v ( x) 法则 3： v( x) （ v( x) �0 ）． （5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 　　（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、 极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中 多项式函数一般不超过三次）. 　　（7）会用导数解决某些实际问题.. 　　（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 　　（9）了解微积分基本定理的含义. 二、知识点精讲 需要熟记结论 ( x0 ) ，切线方程为 y  f � ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) (1)曲线 y  f ( x) 在 x  x0 处的切线的斜率等于 f � (2)若可导函数 y  f ( x) 在 x  x0 ( x0 )  0 。反之，不成立。 处取得极值，则 f � ( x)  0（）  0 的解集决定函数 f ( x) 的递增（减）区间。 (3)对于可导函数 f ( x ) ，不等式 f � ( x) �0 (�0) 恒成立 (4)函数 f ( x ) 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： x �I f � ( x)  0 在 (5)函数 f ( x) 在区间 I 上不单调等价于 f ( x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程 f � ( x ) 为二次函数且 I=R，则有   0 ）。 区间 I 上有实根且为非二重根。（若 f � ( x ) �0 或 f � ( x) (6) f ( x ) 在区间 I 上无极值等价于 f ( x ) 在区间在上是单调函数，进而得到 f � �0 在 I 上恒成立 (7)若 x �I ， f ( x)  0 恒成立，则 f ( x) min  0 ; 若 x �I ， f ( x )  0 恒成立，则 f ( x ) max  0 (8)若  x0 �I ，使得 f ( x0 )  0 ，则 f ( x) max  0 ；若  x0 �I ，使得 f ( x0 )  0 ，则 f ( x) min 0 . (9) 设 f ( x) 与 g ( x) 的 定 义 域 的 交 集 为 D 若  x �D f ( x)  g ( x) 恒 成 立 则 有  f ( x)  g ( x) min  0 (10)若对  若对  若对  x1 �I1 、 x2 �I 2 ， f ( x1 )  g ( x2 ) 恒成立，则 f ( x ) min  g ( x ) max . x1 �I1 ，  x2 �I 2 ，使得 f ( x1 )  g ( x2 ) ,则 f ( x) min  g ( x) min . x1 �I1 ，  x2 �I 2 ，使得 f ( x1 )  g ( x2 ) ，则 f ( x)max  g ( x)max . （11）已知 f ( x) 在区间 I1 上的值域为 A,， g ( x) 在区间 I 2 上值域为 B， 若对  x1 �I1 ,  x2 �I 2 ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，则 A �B 。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 f � ( x)  0 有两个不等实根 x1 、x2 ，且极大值大于 0， 极小值小于 0. (13)证题中常用的不等式: ① ④ ln x �x  1 ( x  0) e  x �1  x ⑤ ② ln（） x +1 �x ( x  1) ln x x  1  ( x  1) x 1 2 ⑥ ③ e x �1  x ln x 1 1   ( x  0) x2 2 2 x2 三、三年模拟课前精练 一、选择题 1．(2014·大纲全国，7)曲线 y＝xex－1 在点(1，1)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 解析　由题意可得 y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等 于 2，故选 C. 答案　C 2．(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方 程为 y＝2x，则 a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　y′＝a－，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所以 a＝3. 答案　D 3．(2011·江西，4)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)>0 的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0) 解 析 　 f(x) 的 定 义 域 为 (0 ， ＋ ∞ ) ， 又 由 f′(x) ＝ 2x － 2 － ＝ >0 ， 解 得 － 1<x<0(舍)或 x>2，所以 f′(x)>0 的解集为(2，＋∞)． 答案　C 4．(2015·福建，10)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f′(x) 满足 f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是(　　) A．f＜ C．f＜ B．f＞ D．f＞ 解析　∵导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，＞0，可 构造函数 g(x)＝f(x)－kx，可得 g′(x)＞0，故 g(x)在 R 上为增函数，∵f(0) ＝－1， ∴g(0)＝－1，∴g＞g(0)， ∴f－＞－1，∴f＞，∴选项 C 错误，故选 C. 答案　C 5．(2011·辽宁，11)函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′ (x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析　设 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x) ＝f′(x)－2>0，g(x)在 R 上为增函数． 由 g(x)>0，即 g(x)>g(－1)． ∴x>－1，选 B. 答案　B 6．(2014·新课标全国Ⅱ，12)设函数 f(x)＝sin.若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x ＋[f(x0)]2<m2，则 m 的取值范围是(　　) A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点 x0 满足 f(x0)＝±，则＝＋ kπ(k∈Z)，从而得 x0＝(k＋)m(k∈Z)．所以不等式 x＋[f(x0)]2<m2 即为 (k＋)2m2＋3<m2，变形得 m2>3，其中 k∈Z.由题意，存在整数 k 使得不等 式 m2>3 成立．当 k≠－1 且 k≠0 时，必有>1，此时不等式显然不能成立， 故 k＝－1 或 k＝0，此时，不等式即为 m2>3，解得 m<－2 或 m>2. 答案　C 二、填空题 5．(2014·江西，13)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝ 0，则点 P 的坐标是________． 解析　由题意有 y′＝－e －x ，设 P(m，n)，直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－ 2，则由题意得－e－m＝－2，解得 m＝－ln 2，所以 n＝e－(－ln 2)＝2. 答案　(－ln 2，2) 6．(2013·江西，13)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex ，则 f ′(1)＝________． 解析　令 ex＝t，则 x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t， ∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2. 答案　2 四、典型例题精讲 考点一：导数几何意义： 题型一　求切线方程 例一、1．(2014·洛阳统考)已知函数 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f ′，f′(x)是 f(x)的导函数，则过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0 C