冲刺 2022 年高考二项分布、正态分布及其应用专项训 练 （原卷+答案） 一、选择题 1．为应对新冠肺炎疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资．某工厂为了监控 转产产品的质量，测得某批 n 件产品的正品率为 98%，现从中任意有放回地抽取 3 件产品 进行检验，则至多抽到 1 件次品的概率为(　　) A．0.998 816 B．0.999 6 C．0.057 624 D．0.001 184 2．在一个坛子中装有 10 个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有 1 个红球，2 个蓝球， 3 个黄球，4 个绿球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情 况下第二个球为黄色的概率为(　　) A. B. C. D. 3．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5 局 3 胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是， 则甲以 3:1 获胜的概率是(　　) A. B. C. D. 4．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正 态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．甲类水果的平均质量为 0.4 kg B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ2＝1.99 5．某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率 分布直方图(如图)．若以频率代替概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 8～ 12 吨的家庭个数 X 的数学期望为(　　) A．3.6 B．3 C．1.6 D．1.5 二、填空题 6．甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够解决这个问题的概 率分别为，，，则有人能够解决这个问题的概率为________． 7．某项羽毛球单打比赛规则是 3 局 2 胜，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛 ， 假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为________． 8．在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(90，σ2)，已 知 P(70≤X≤90)＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于 110 分的 概率为________． 三、解答题 9．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标 H 和 V.现有 A，B，C 三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C 三种药剂能控制 H 指标的 概率分别为 0.5,0.6,0.75，能控制 V 指标的概率分别为 0.6,0.5,0.4，能否控制 H 指标与 能否控制 V 指标之间相互没有影响． (1)求 A，B，C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率； (2)某种药剂能使两项指标 H 和 V 都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中 有治疗效果的药剂种数 X 的分布列． 10． “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求． “考试”作为一种公平公正选拔人才的有效径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心 的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？…… 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录 300 人，其中 275 个高薪职位和 25 个普薪职位．实际报名人数为 2 000，考试满分为 400 分(一般地，对于一次成功的考 试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩 是 180 分，360 分及其以上的高分考生有 30 人． (1)最低录取分数是多少？(结果保留整数) (2)考生甲的成绩为 286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说 明理由． 参考资料：(1)当 X～N(μ，σ2)时，令 Y＝，则 Y～N(0,1)． (2) 当 Y ～ N(0,1) 时 ， P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 11．某市对居民用水拟实行阶梯水价，每户用水量不超过 w 米 3 的部分按 4 元/米 3 收 费，超出 w 米 3 的部分按 10 元/米 3 收费，从该市随机调查了 100 户家庭，获得了他们某 月的用水量，用水量分组为：第一组[0.5,1)，第二组[1,1.5)，…，第八组[4,4.5]，由此 得到如下频率分布直方图，并且前四组的频数成等差数列． (1)求 a，b，c 的值及居民该月用水量在 2 米 3 到 2.5 米 3 内的频数； (2)根据此次调查，为使 80%以上的居民月用水价格为 4 元/米 3，请估计 w 的值．(精 确到小数点后两位) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 户居民的月用水量，将月用水量不超过 2.5 米 3 的户数记为 X，求 X 的分布列及均值． 参考答案 1．设事件 A 为“任意抽取 1 件产品，抽到的产品为正品”，由题意可知 P(A)＝0.98， 有放回地抽取 3 件产品相当于 3 次独立重复试验，设 3 件产品中正品的件数为 X，则 至多抽到 1 件次品的概率为 P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.982×0.02＋C×0.983＝ 0.998 816.故选 A. 答案：A 2．在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有 3 个黄球，而坛子中此时共有 9 个球， 故再取一球取得黄球的概率为 P＝＝. 答案：A 3．甲以 3:1 获胜是指前 3 局比赛中甲 2 胜 1 负，第 4 局比赛甲胜，∴甲以 3:1 获胜的 概率是 P＝C×2××＝.故选 A. 答案：A 4．由题图可知甲类水果质量的正态曲线关于直线 x＝0.4 对称，乙类水果质量的正态 曲线关于直线 x＝0.8 对称， ∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故 A 正确，C 正确； 由题图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故 B 正 确； ∵乙类水果质量的正态曲线的最大值为 1.99，即＝1.99，∴σ2≠1.99，故 D 错误．故 选 D. 答案：D 5．解法一　由频率分布直方图知一个家庭月均用水量在 8～12 吨的概率为(0.16＋ 0.14)×2＝0.6，所以 X～B(5,0.6)，所以 E(X)＝5×0.6＝3. 解法二　由频率分布直方图知一个家庭月均用水量在 8～12 吨的概率为(0.16＋ 0.14)×2＝0.6，可得 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 故 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3. 答案：B 6．解析：没有人能解决这个问题的概率为＝，故有人能够解决这个问题的概率为 1－ ＝. 答案： 7．甲获胜的方式有 2:0 和 2:1 两种，则甲获得冠军的概率 P＝ 2＋C×××＝. 答案： 8．解析：∵X～N(90，σ2)，∴μ＝90，即正态曲线关于直线 x＝90 对称．又 P(70≤X≤90)＝0.35，∴P(90≤X<110)＝0.35， ∴P(X≥110)＝P(X≥90)－P(90≤X<110)＝0.5－0.35＝0.15，则 P(X<110)＝ 1－0.15＝0.85. 答案：0.85 9． (1)A，B，C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率为 P＝P(ABC)＋P(ABC) ＋P(ABC) ＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－ 0.6)×0.75＝0.275. (2)∵A 有治疗效果的概率为 PA＝0.5×0.6＝0.3， B 有治疗效果的概率为 PB＝0.6×0.5＝0.3， C 有治疗效果的概率为 PC＝0.75×0.4＝0.3， ∴A，B，C 三种药剂有治疗效果的概率均为 0.3，可看成 3 次独立重复试验， 即 X～B(3,0.3)． ∵X 的可能取值为 0,1,2,3， ∴P(X＝k)＝C×0.3k×(1－0.3)3－k， 即 P(X＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343， P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189， P(X＝3)＝C×0.33＝0.027. 故 X 的分布列如下． X 0 1 2 3 P 0.34 3 0.44 1 0.18 9 0.02 7 10 (1)设考生成绩为 X，依题意 X 应服从正态分布，即 X～N(180，σ2)． 令 Y＝，则 Y～N(0,1)． 由 360 分及其以上的高分考生有 30 人，可得 P(X≥360)＝，即 P(X<360)＝1－＝ 0.985，亦即 P(Y<)＝0.985， 则＝2.17，解得 σ≈83，∴X～N(180,832)． 设最低录取分数线为 x0，则 P(X≥x0)＝P(Y≥)＝， P(Y<)＝1－＝0.85， ∴＝1.04， ∴x0＝266.32. 即最低录取分数线为 266 分或 267 分． (2)考生甲的成绩 286>267，所以能被录取． P(X<286)＝P(Y<)≈P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人 数的 1－0.90＝0.10.因为 2 000×0.1＝200，所以考生甲大约排在第 200 名，排 在 275 名之前，所以他能获得高薪职位． 11．解析：(1)∵前四组的频数成等差数列， ∴所对应的频率也成等差数列， ∴可设 a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 得 d＝0.1，a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 故居民该月用水量在 2 米 3 到 2.5 米 3 内的频率为 0.25. ∴居民该月用水量在 2 米 3 到 2.5 米 3 内的频数为 0.25×100＝25. (2)由图可知，居民月用水量不超过 2.5 米 3 的频率为 0.7<0.8， ∴为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/米 3， w＝2.5＋×0.5≈2.83. (3)将频率视为概率，设 A 代表居民月用水量，由图知 P(A≤2.5)＝0.7， 则由题意可知 X～B(3,0.7)， P(X＝0)＝C×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189， P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343. ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.02 7 0.18 9 0.44 1 0.343 ∵X～B(3,0.7)，∴E(X)＝2.1.