新课程高二年级期末全真模拟试卷四 数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 ⃗ 1. 在空间直角坐标系 O−xzy 中，已知点 A (3,−1,0) ，向量 AB =( 4,10,−6) ，则线段 AB 的中点坐 标为 ( ) A. (1,−6,3) 2. B. ❑ √ 10 D. (2,5,−3) C. 3 ¿ 直线 x ⋅ sin 2 θ+ y−5=0 的倾斜角的取值范围是 ¿ −π π A. [ 4 , 4 ] 4. C. (5,4,−3) ¿ 已知直线 l: kx− y +1−3 k =0 ，则原点到直线 l 的距离的最大值为 ¿ A. 2 ❑√ 2 3. B. (−1,6,−3) π 3π B. [ 4 , 4 ] π C. [0, 4 ]∪ ¿ ¿ D. 2 ❑√ 3 ¿ π D. (0, 2 )∪ ¿ 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a ，点 E ， F ， G 分别是 AB ， AD ， DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是 () ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ A. 2 AB ⋅CA B. 2 AC ⋅ FG C. 2 AD ⋅ DC D. 2 EF ⋅ DB 5. 《 周髀算经 》 中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、 小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为 28.5 尺，最 ¿ 后三个节气日影长之和为 1.5 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为 ¿ ¿ A. 4.5 尺 6. B. 3.5 尺 C. 2.5 尺 D. 1.5 尺 2 2 已知直线 l 1 : y=kx−1 与圆 C : x + y + kx+ my−4=0 交于 M ， N 两点，且 M ， N 两点关 ¿ 于直线 l 2 : x + y=0 对称，则过 M ， N 两点的圆中面积最小的圆的方程为 ¿ ¿ 2 2 1 1 5 B. (x+ ) +( y + ) = 2 2 2 2 2 1 1 D. (x+ ) +( y + ) =10 2 2 1 1 5 A. ( x− ) +( y + ) = 2 2 2 1 1 C. ( x− ) +( y + ) =10 2 2 7. 已知椭圆 C : 2 2 2 2 2 x2 y 2 + =1(a>b> 0) 的左右焦点为 F1 ， F2 ，过 F2 的 a2 b 2 2 2 直线与圆 x + y =b 相切于点 A ，并与椭圆 C 交于不同的两点 P ， Q ，如图，若 A ， F2 为线段 PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为 ¿ ¿ ¿ ❑ A. ❑ √2 √3 B. 3 3 2 8. 点 P 是双曲线 ❑ C. √5 3 ❑ D. √7 3 2 x y − 2 =1 ( a> 0,b >0 ) 右支上的一点， F1 ， F2 分别是双曲线的左、右焦点，点 2 a b I 是 △ P F1 F2 的内切圆圆心，记 △ IP F 1 ， △ IP F 2 ， △ I F 1 F 2 的面积分别为 S 1 ， S 2 ， 1 S 3 ，若 S 1−S2 ≤ S3 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为 ¿¿ 2 A. ( 0,2 ] B. [ 2,+ ∞ ) C. ( 1,2 ] D. ¿ [ ❑√ 2 ,+∞ ) 二、多选题：本大题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目 要求的 9. 已知等差数列 {a n } ¿ 的公差 d ≠0 ，前 n 项和为 S n ，若 S 6=S12 ，则下列结论中正确的有 ¿ ¿ A. a1 ： d=−17 ： 2 C. 当 d >0 时， a6 + a14 >0 2 B. S 18=0 D. 当 d <0 时， |a 6|>|a14| y−2 ¿ =25 10. 已知圆 C ： x−1 ¿2 +¿ ，直线 l ： (2 m+1) x +(m+ 1) y−7 m−4=0. 则以下几个命题正确的有 ¿ () A. 直线 l 恒过定点 (3,1) B. 圆 C 被 y 轴截得的弦长为 4 ❑√ 6 C. 直线 l 与圆 C 恒相交 D. 直线 l 被圆 C 截得最短弦长时，直线 l 的方程为 2 x − y−5=0 ，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等， 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ¿ 且它们彼此的夹角都是 60 ° ，下列说法中正确的是 ¿ ¿ A. B. ⃗ ⃗ C. 向量 B 1 C 与 A A 1 的夹角是 60 ° D. B D1 与 AC 所成角的余弦值为 ❑ √6 3 2 12. 设抛物线 y =2 px ( p> 0) 的焦点为 F ， P 为其上一动点，当 P 运动到 (2, t) 时， ¿ 直线 l 与抛物线相交于 A , B 两点，点 M ( 4,1 ) ，下列结论正确的是 ¿ 2 A. 抛物线的方程为 y =4 x B. |PM|+|PF| 的最小值为 6 C. 存在直线 l ，使得 A 、 B 两点关于 x+ y−6=0 对称 D. 当直线 l 过焦点 F 时，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上 ¿ |PF|=4 ， 13. 在数列 {a n } 中， a1=1 ， an +1−a n=9−2 n ，则数列 {a n } 中最大项的数值为 14. 四棱柱 ABCD − A1 B 1 C 1 D1 中， AB=AD =2 ， A A 1=3 ， ∠ BAD=90° ， ⃗ ⃗ ∠ BA A 1=∠ DA A 1=60 ° ，则向量 A C1 的模长 ¿ A C1∨¿ 15. 已知点 F1 、 F2 分别为双曲线 C : x2 y 2 − 2 =1(a>0, b>0) 的左、右焦点，点 M ( x 0 , y 0 )(x 0< 0) 为 2 a b C 的渐近线与圆 x 2+ y 2 =a2 的一个交点， O 为坐标原点，若直线 F1 M 与 C 的右支交于点 N ，且 ¿ MN ∨¿∨N F 2∨+¿ O F 2∨¿ ，则双曲线 C 的离心率为 2 16. 已知抛物线 C ： x =4 y 的焦点为 F ，平行于 y 轴的直线 l 与圆 Γ ： y−1 ¿2=1 交于 x 2+ ¿ A ， B 两点 ¿¿ 点 A 在点 B 的上方 ¿ ， l 与 C 交于点 D ，则 △ ADF 周长的取值 范围是________ 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知直线 l 经过两条直线 2 x − y−3=0 和 4 x −3 y−5=0 的交点，且与直线 x+ y−2=0 垂直 (1) 求直线 l 的方程 (2) 若圆 C 过点 ( 1,0 ) ，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l 被该圆所截得的弦长为 2 ❑√ 2 ，求 圆 C 的标准方程 18. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 +a 5=25 ， S 5=55 ． (1) 求数列 {a n } 的通项公式 1 {b n } 的前 n 项和 T n (2) 设 an b n= 3 n−1 ，求数列 ∘ 19. 如图，在四棱锥 P− ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， BC /¿ AD ， ∠ ADC =90 ， 1 BC =CD= AD=1 ， E 为线段 AD 的中点 . PE ⊥ 底面 ABCD ，点 F 是棱 PC 的中点， 2 平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G (1) 求直线 AB 与平面 PAD 所成角的大小 π G−l− A 的余 (2) 设平面 BEF ∩ 平面 PAB=l ，若 PC 与 AB 所成的角为 4 ，求二面角 弦值 2 2 x−1 ¿ + y =16 上的任意一点，点 F(−1,0) ，线段 BF 的垂直平分线交 BC 于 20. 已知点 B 是圆 C:¿ 点 P (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程 (2) 设曲线 E 与 x 轴的两个交点分别为 A 1 ， A 2 ， Q 为直线 x=4 上的动点，且 Q 不 在 x 轴上， Q A 1 与 E 的另一个交点为 M ， Q A 2 与 E 的另一个交点为 N ，证明： △ FMN 的周长为定值 21. 如图，在三棱锥 P− ABC 中， PA ⊥ 底面 ABC ， AC ⊥ BC ， H 为 PC 的中点， M 为 AH 的中点， PA= AC =2 ， BC =1 ¿ ¿ Ⅰ ¿ 求证： AH ⊥ BC ¿ ¿ Ⅱ ¿ 求点 C 到平面 ABH 的距离 |PN | ¿ ¿ Ⅲ ¿ 在线段 PB 上是否存在点 N ，使 MN /¿ 平面 ABC ？若存在，求出 |PB| 的值， 若不存在，请说明理由 2 22. 如图，已知点 F 为抛物线 C ： y =2 px ( p> 0) 的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M ， N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45 ° 时， ¿ MN ∨¿16 (1) 求抛物线 C 的方程 (2) 试确定在 x 轴上是否存在点 P ，使得直线 PM ， PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 答案和解析 一、单选题：C B C B AA C B 二、多选题：ABC ABCD AB 三、填空题： 17 BD 5 4 ❑ √ 29 (3,4) 四、解答题： 17、解： (1) 设直线 l 的斜率为 k 1 ∵直线 l 与直线 x+ y−2=0 垂直， ∴k 1 =1 x − y−3=0 {42x−3 y−5=0 依题意得， ，解得两直线交点为 (2,1) 所以，直线 l 过点 (2,1) ∴ 直线l 的方程 y−1=( x−2) ，即 y=x−1 (2) 2 2 设圆的标准方程为 (x−a) + y =r {( 2 2 (1−a ) =r 2 2 , |a−1| 2 ，解得 a=3 ， r=2 +2=r ❑ √2 18、解： (1) ) 2 2 圆的标准方程为 ( x−