武汉市部分重点中学 2021——2022 学年度下学期期末联 考 高二数学试卷 命题学校：湖北省武昌实验中学 命题教师：湛凤高 考试时间：2022 年 6 月 29 日下午 14：00——16：00 审题教师：王先东 试卷满分：150 分 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。） 3 1. 计算 A7 4 C6 的结果是 () A. 28 2. B. 14 C. 14 3 D. 7 3 下列函数中，在 R 上为增函数的是 () −x 2 A. y=2 C. y= 3. 若随机变量 X ∽ B (n , 0.4) ，且 E( X)=2 ，则 P( X =4) 的值是 () {x2−x ,1,xx⩾0<0 A. 2× 0. 4 4 B. y=x D. y=lg x B. 3 ×0. 4 4 C. 2× 0. 64 D. 3 ×0. 64 4. 已知事件 A 、 B ，设 B ⊆ A ，且 P( A)=0.7 ， P(B)=0.42 ，则 P( B∨ A) 的值是 () A. 0.294 B. 0.42 C. 0.6 D. 1 5. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问 100 名学生能否做到 “光盘”行动，得到如下列联表：单位：人 附表： ad −bc ¿ ¿ n¿ 2 χ =¿ 2 2 经计算： χ ≈3.04 . 则下列结论正确的是 () A. 依据 α =0.05 的独立性检验，认为“该校学生能否做到 光盘 ′ 行动与性别有 关” B. 依据 α =0.01 的独立性检验，认为“该校学生能否做到 光盘 ′ 行动与性别有 关” C. 依据 α =0.1 的独立性检验，认为“该校学生能否做到 光盘 ′ 行动与性别无关” D. 依据 α =0.1 的独立性检验，认为“该校学生能否做到 光盘 ′ 行动与性别有关” 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举 . 某学校开设 A ， B ， C 三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学参加校本课程的学习，每位同 学仅报一门课程，每门课程至少有一位同学参加，则不同的报名方法有 () A. 24 种 B. 36 种 C. 54 种 D. 72 种 7. 函数 f (x) 的定义域为 R ，若 f ( x+1) 是奇函数， f (x −1) 是偶函数， 则 () A. f ( x+3) 是偶函数 B. f (x)=f (x +3) C. f (3)=0 8. D. f (0)=0 4 b=ln 1.04 ， c=e0.04 −1 ，则下列关系正确的是 () 104 ， A. a> b>c B. b> a>c C. c >a> b D. c >b> a 设 a= 二、多项选择题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的。全部选对的得 5 分，选对但不全得的 2 分，有选错的得 0 分。） 9. 为了解学生在网课期间的学习情况,某地教育部门对高二网课期间的教学效果进行 了质量监测.已知该地甲、乙两校高二年级的学生人数分别为 600、550,质量监测 中甲、乙两校数学学科的考试成绩(均为整数)分别服从正态分布 N(108,25)、N(97,64),人数保留整数,则（） 2 参考数据:若 Z~N( μ , σ ❑ ),则 P(|Z- μ |< σ ) ≈ 0.6827,P(|Z- μ |<2 σ ) ≈ 0.9545,P(|Z- μ |<3 σ ) ≈ 0.9973. A. 从甲校高二年级任选一名学生,他的数学成绩大于 113 的概率约为 0.15865 B. 甲校高二年级数学成绩不超过 98 的学生人数少于 10 人 C. 乙校高二年级数学成绩的分布比甲校高二年级数学成绩的分布更分散 D. 乙校高二年级数学成绩低于 113 的比例比甲校高二年级数学成绩低于 113 的比例小 10. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a1=−10 ， an +1=a n+ 3 ，则 下列说法正确的是 () A. {a n } 是递增数列 B. 10 是数列 {a n } 中的项 C. 数列 {Sn } 中的最小项为 S 5 D. 数列 { Sn } 是等差数列 n 11. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发，向同一方向运动，其路程 f i ( x )(i=1,2,3,4) 关于时间 x ( x ≥ 0) 的函数关系式分别为 f 1 (x )=2 x −1 ， f 2(x )=x 2 ， f 3 ( x)=x ， f 4 (x)=log 2 ( x +1). 则以下结论正确的是 () A. 当 x> 1 时，甲走在最前面 B. 当 0< x <1 时，丁走在最前面，当 x> 1 时，丁走在最后面 C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D. 如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲 1+ x ¿20 =a0 +a 1 x +a2 x 2+ a3 x 3 +⋯+a20 x 20 1+ x ¿3+ ⋯+ ¿ 12. 若 ，则 () 1+ x ¿2 +¿ ( 1+ x )+¿ 4 A. a0 =20 B. a3 =C21 C. a19=20 D. ¿ −1 ¿i −1 ia i=1 ¿ 20 ∑¿ i=1 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 袋中有 5 个小球，其中 3 个白球， 2 个红球，除颜色外，其余均相同 . 从中任取 2 个小球，则恰好取出 1 个红球的概率是 ． 14. 已知函数 f (x) 满足： f ( x)+ f (1− x)=2 ，若 1 2 n −1 an =f ( 0)+ f ( )+ f ( )+⋯+ f ( )+ f (1)( n∈ N ∗) ，则数列 {a n } 的通 n n n 项公式是 an =¿ ． 15. 定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (1− x)+f (1+ x)=2 ，当 x ∈[ 0,1] 2 时， f ( x)=2 x − x . 则 f (3)=¿ ． 16. 如图是瑞典数学家科赫 (H .V . Kocℎ) 在 1904 年构造的能够描述雪花形状 的图案 . 图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以 各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边 . 反复进行这一过程， 就得到一条“雪花”状的曲线． ¿ 设原三角形 ¿ 图 1¿ 的边长为 1 ，把图 1 ，图 2 ，图 3 ， ⋯ 中 的图形依次记为 M 1 ， M 2 ， M 3 ， ⋯ ， M n ， ⋯ ，则 M 3 的边数 N 3=¿ ， M n 所围成的面积 S n=¿ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17. 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a −c sin B ． b (1) 求角 B 的大小 ; cos C= c cos C. (2) 若边 AB 上的高为 4 ，求 ¿ 18. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y ¿ 百千克 ¿ 与某种肥料每亩 ¿ 使用量 x ¿ 千克 ¿ 之间对应数据如下表所示． n ∑ x i y i −n x y (1) 由给出的参考公式证明：相关系数 r= i=1 √∑ ❑ n i=1 2 i x −n x √∑ 2❑ ; n 2 i y −n y 2 i=1 ¿ (2) 请从相关系数 r ¿ 精确到 0.01 ¿ 的角度分析，能否用线性回归模型拟 ¿ 合 y 与 x 的关系 ¿ 若 ¿ r∨≥ 0.75 ，则线性相关程度很强，可用线性回 归模型拟合 ¿ . 若能，建立 y 关于 x 的线性回归方程，若不能，请说明理 由． 参考公式：对于一组数据 ( x 1 , y i)( i=1,2,3,⋯ , n) ，相关系数 ¿ xi − x ¿2 ¿ ¿ y i − y ¿2 ¿ ¿ n ∑¿ i=1 ¿ ， n ∑¿ i=1 ❑ n √¿ ∑ (¿ x i − x)( y i − y ) i=1 ¿ r =¿ ̂̂ ̂̂ ̂̂ 回归直线 y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ¿ xi − x ¿2 ¿ ¿ n ∑¿ i=1 n ∑ (¿ x i − x)( y i − y ) ． i=1 ̂̂ ¿ ¿ b=¿ ¿ 5 参考数据： ∑ x i=25 i=1 5 ， ∑ y i=20 i=1 5 ， ∑ x i yi =106 i=1 5 ， ∑ x 2i =145 i=1 ， 5 ∑ y 2i =82 i=1 ， ❑ √ 10≈ 3.16 ， ❑ √ 5≈ 2.24 . 其中 x i ， y i (i=1,2,3,4,5) 分别为肥料每亩使用量和西红柿亩产量的增加量． 19. 已知 {a n } 是递增的等比数列，且 a3 =2 ， a2 +a 4= 20 3 ． (1) 求数列 {a n } 的通项公式 ; (2) 在 an 与 an +1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 ¿ d n 的等差数列，在数列 {d n } 中是否存在 3 项 d m ， d k ， d ¿ 其 p 中 m ， k ， p 成等差数列 ¿ 成等比数列 ⋅ 若存在，求出这样的 3 项 ; 若不存在，请说明理由． b x (1) 若曲线 y=f ( x) 与曲线 y=g( x ) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共 切线，求 a ， b 的值 ; 1 (2) 当 b=1− a ，且 0 ≤ a ≤ f (x)+ g( x ) 的单调区间． 2 时，求函数 20. 已知函数 f (x)=ln x −ax ， g(x)= − 3 ． 21. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为 p(0< p<1). 现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束 ; 若 试验不成功，则继续试验，且最多试验 10 次 . 记 X 为试验结束时所进行 的试验次数． (1) 写出 X 的分布列 ; 1 (2) 证明： E( X)< p ． x 22. 已知 1<a ⩽ 2 ，函数 f (x)=e − x −a ，其中 e=2.71828 ⋯ 为自然对数 的底数． (1) 证明：函数 y=f ( x) 在 (0