2022 年高一基础学科知识竞赛 数学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1.已知集合 A   1, 0,1, 2 ，集合 A.  1, 0,1 2.设 ,  B. 为两个平面，“ B   x lg x  0 ，则 A I  � RB  （  1, 0 C.  0,1 D. B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在下列函数中，最小值是 2 的函数有（ ） 1 x A. f  x  x  B. � � f  x   tan x  cot x � 0 x � 2� � D.  �,1  内存在一条直线垂直于  ”是“    ”的（ ） A.充分不必要条件 f x  C.   ） x2  5 x2  4 f  x  ex  4 ex 2.5 � � �1 1 �，设 1， 2 ， p   � 2 � ，则（ 4.已知幂函数 的图象过点 , n  log 3 �2 � � � m f  x   xa � � �3 27 � 2 2 A. f  m  f  n  f  p  B. f  n  f  m  f  p  C. f  p   f  m  f  n D. f  p   f  n  f  m 5.已知 � � � � sin �   � cos �  � � 4� � 4 �，则 sin 2  （ 1 A. 2 1 C. 2  B. 1 ） D.1 ） uuu r uuur AC O EB  3 DE ， 若 ABCD BD E BD 6. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 中， ， 相交于点 ，点 在线段 上，且 uuur uuur uuur AE   AD   AC   ,  �R  ，则（ 1   A. 2 ） B.   2  1   D. 3 C.   3 7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意 义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积 的方法，用公式表示为： a 边.已知 △ ABC 中， c  cos B  3 cos C ， 9 3 243 B. 4 f  x   ln 值范围是（ A. 3a a  3 cos A  ，则 △ ABC 面积的最大值为（ c cos C 9 3 A. 2 8.已知 S△ ABC 2 1 �2 2 �a 2  c 2  b2 ��  � a c � ��，其中 是 的内角 的对 4� 2 � �� a, b, c △ ABC A, B, C � �  243 C. 4  16 x 2  1  ax  a  0  是奇函数，若 ） D. 8 f  ax 2  bx   f  ax  1  0 恒成立，则实数 b 的取 ）  8,8  B.  0,8 C.  8,16  D.  8, 0  二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.） 9.若复数 z 满足  1  i  z  3  i （其中 i 是虚数单位），复数 z 的共轭复数为 z ，则（ A. z  5 B.复数 z 的虚部是 2 C. zi  2  i ） D.复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限 � � f  x   2sin 2 x  cos � 2 x  � 1 10.已知函数 2 � ，则（ � ）  A.其图象可由 y  2 sin 2 x 的图象向右平移 8 个单位得到 B. f  x 在  0,   仅有 1 个零点 �� 0, � C. f  x  在 � � 2 �单调递增 � �  , 0� �的最小值为  2 D. f  x  在 � �2 11.先后两次掷一枚质地均匀的骰子， A 表示事件“两次掷出的点数之和是 4”， B 表示事件“第二次掷出的点数 是偶数”， C 表示事件“两次掷出的点数相同”， D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ A. A 与 C 互斥 C. B 与 D 对立 B. D. P  D  B 与 C ） 3 4 相互独立 12.地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科 研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图 ①，已知球的表面积为 4 ，底座由边长为 4 的正三角形铜片 ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面 角所得，如图②，则下列结论正确的是（ ）  A.直线 AD 与平面 DEF 所成的角为 3 9 B.底座多面体 ABCDEF 的体积为 4 C.平面 BCF // 平面 ADE 6 3  1 D.球离球托底面 DEF 的最小距离为 3 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） r r r r r r a  kb  a  b ，则 a  2,  3 b   1, 2     13.已知向量 ， ，且 k  ________.     14.2022 年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为了节 约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了 100 位居民某年的月均用水量（单位： t ）得到如图所示的频率 分布直方图，在统计中我们定义一个分布的  分位数为满足 P  X �z   1   的 z ，则估计本例中 z0.75  ________.（结果保留小数点后两位有效数字） 15.已知函数 f  x   e  x   ， g  x   x  ln x   ，若 a x f  x1   a g  x2   1 a  0, a �1 ，则 x1  x2  ____ ____. 16.三棱锥 P  ABC 中，顶点 P 在底面 ABC 的射影恰好是 △ ABC 内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为 12，16，20，底面 ABC 的最长边长为 10，则点 A 到平面 PBC 的距离为________；三棱锥 P  ABC 外接球 的直径是________. 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中， BC  4 ， AC  3 uuur uuur �BCA  60� DB  2 AD ， ， ， uuu r uuu r CE  2 EB . uuu r uuu r uuu r CB CA  CA  （1）设 在 上的投影向量为 ，求 的值； uuur uuur uuu r uuu r （2）若 DE  xCB  yCA ，求 DE .   2 18.（本小题满分 12 分）已知二次函数 f  x    x  mx  3 ，又 x f  x  �0   �, 1 U  n, � . （1）求函数 f  x （2）若不等式 在  2, 2 上的最小值； f  2 x    a 2  3a  � 2 x  12 �0 对任意的 x � 3, 1 恒成立，求实数 a 的取值范围. 19. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ， 且 3  a 2  b2  c 2  a 2 sin B sin C  . sin A 2 （1）求角 C 的大小； （2）若 c  2 3 ， sin A  sin B  4sin A � sin B ，求 △ ABC 的面积. 20.（本小题满分 12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中， AD  4 ， DC  4 ， AB  8 ， E 为 AB 的中点，将 △ ADE 沿 DE 折起、得到四棱锥 P  DEBC ， F 为 PC 的中点， （1）线段 EB 上是否存在点 M ，使 FM // 平面 PDE ？ （2）证明： △ PCB 为直角三角形； （3）当四棱锥 P  DEBC 的体积最大时，求三棱锥 E  DCF 的体积. 21.（本小题满分 12 分）2022 年“五一”国际劳动节期间，我市市场志愿服务团队对某“冰橙”线下冷链实体加工 点作了统计调查，了解到某种冰橙的成本单价为 3 元，厂家全程灭菌保鲜包装，然后按照每箱 100 杯冰橙装 箱（平均每杯冰橙的包装费约增加 1 元），然后以每箱 500 元的价格整箱出售.结合市场需求及冰橙的夏季保 鲜条件，厂家特制定如下促销策略：若每天下午 4 点之前所生产的冰橙没有售完，则对未售出的冰橙以每箱 300 元的价格出售（降价后能把剩余冰橙全部处理完毕，且当天不再生产该种冰橙），根据厂家市场调研暂 定每天最多加工 7 箱. （1）若某天该厂家加工了 7 箱该种冰橙，且被 7 家不同的门店购买，其中在下午 4 点之前售出的有 5 箱.现从 这 7 家不同的门店中随机选取 2 家赠送优惠卡，则恰好一家是以 500 元购买的门店，另一家是以 300 元购买 的门店的概率是多少？ （2）该加工点统计了 100 天内该种冰橙在每天下午 4 点之前的销售量 x （单位：箱），结果如下表（视频率 为概率）： x （箱） 4 5 6 7 频数（天） 20 30 20 30 求每天加工 7 箱该种冰橙的平均利润. 22.（本小题满分 12 分） �b � f  x  