2020-2021 学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的。 1．（5 分）设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 A．相等向量 C．有相同起点的向量 2．（5 分）若 a＞b，c∈R，则（　　） A．ac＞bc B．ac2＜bc2 3．（5 分）已知数列{an}满足 a1＝2，an＝1+ A．2 B． ， ， ， 是（　　） B．平行向量 D．模相等的向量 C． ＜ D．b﹣a＜0 （n＞1，n∈N*），则 a3＝（　　） C． D． 4．（5 分）已知向量 ＝（1，2）， ＝（3，x），若 ∥ ，则实数 x＝（　　） A．3 B．﹣ C．5 D．6 5．（5 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若∠A＝45°，a＝ （　　） A．60° B．75° C．60°或 120° ，b＝ ，则∠C＝ D．15°或 75° 6．（5 分）已知向量 ， 满足| |＝2，| |＝1，（ ﹣ ）⊥ ，则 ， 的夹角是（　　） A． B． C． D． 7．（5 分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为 堑堵．已知在堑堵 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝2，AA1＝2 ABB1A1 所成角的大小为（　　） A．30° B．45° 8．（5 分）设变量 x、y 满足约束条件 A．0 B．2 C．60° ，BC＝2 D．90° ，则目标函数 z＝x+y 的最大值为（　　） C． D．3 9．（5 分）设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，a3＝3，S3＝9，则首项 a1＝（　　） A．﹣ B．12 ，则 CA1 与平面 C．1 或﹣ 10．（5 分）已知空间直线 a、b、c，平面 α，给出下列命题： ① 若 a⊥b，b∥α，则 a⊥α； ② 若 a⊥α，b∥α，则 a⊥b； ③ 若 a⊥b，b∥c，则 a∥c； D．3 或 12 ④ 若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．② 11．（5 分）在棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， D．②③④ ＝ ， ＝ ，在正方体中过 D1、E、F 三点作平面，平面 D1EF 下方截得几何体俯视图如图所示，则该几何体的侧视图面积为（　 ） A． B．6 C． D． 12．（5 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 A＝60°，a＝2 ，现有以下判 断： ①b+c 可能等于 7； ②△ABC 外接圆的半径为 4； ③ABC 面积最大值为 3 ； ④ 作 A 关于 BC 的对称点 A'，则|AA′|的最大值是 6． 其中正确的是（　　） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）满足不等式（x﹣2）2＞4 的 x 取值范围是 　 　． 14．（5 分）若直线 l 与平面 α 平行，直线 a⊂α，则直线 l 与直线 a 的位置关系是 　 　．（填满足条件 的所有正确结论：平行、相交、异面） 15．（5 分）已知平行四边形 ABCD，点 E 为 BC 的中点，若 ＝x +y ，则 x+y＝　 　． 16．（5 分）如图，已知圆 O 的直径 AB 长为 2，上半圆圆弧上有一点 C，∠COB＝30°，点 P 是劣弧 上 的动点，点 D 是下半圆弧上的动点，现以 AB 为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接 PO，PD，CD．则三棱锥 P﹣COD 的最大体积为 　 　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。本卷为必考题。 17．（10 分）（1）已知 x＞0，y＞0，且 + ＝1，求 x+2y 的最小值． （2）已知平面向量 ＝（x﹣1，2﹣x）， ＝（2，1），若 ⊥ ，求| |． 18．（12 分）已知数列{an}为等差数列，S2＝4，S6﹣S3＝27． （1）求数列{an}的通项公式； （3）设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 19．（12 分）如图，已知二面角 α﹣AB﹣β，且 α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D 是垂足，平面 PCD 与 AB 交于点 H． （1）求证：AB⊥平面 PCD； （2）若 PC＝PD＝CD＝1，试求二面角 α﹣AB﹣β 的大小． 20．（12 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若（2b﹣a）cosC＝ccosA． （1）求角 C 的大小； （2）若 c＝3，求△ABC 的周长取值范围． 21．（12 分）如图，已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E，F 分别为 AC，AB1，CC1 的中点． （1）求证：EF∥平面 ABC； （2）若△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，且 AC＝CC1．求证：A1F⊥平面 BDC1． 22．（12 分）已知数列{an}满足 a1＝1，a1+a2+…+an＝an+1﹣n﹣1（n∈N*）． （1）求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若 bn＝ ，Sn 为数列{bn}的前 n 项和，求证： ﹣ ≤Sn＜2（n∈N*）． 2020-2021 学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的。 1．（5 分）设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 A．相等向量 C．有相同起点的向量 【解答】解：如图， 向量 ， ， ， ， ， ， 是（　　） B．平行向量 D．模相等的向量 是模相等的向量． 故选：D． 2．（5 分）若 a＞b，c∈R，则（　　） A．ac＞bc B．ac2＜bc2 C． ＜ D．b﹣a＜0 【解答】解：对于选项 A：当 c＝0 或 c＜0 时，不等式 ac＝bc 或 ac＜bc，故 A 不正确； 对于选项 B：当 c＝0 时，ac2＝bc2，故 B 不正确； 对于选项 C：由于 ，当 c＜0，a＞b＞0 时， ；当 c＝0 时， ，故 C 不 正确； 对于选项 D：因为 a＞b，所以 b﹣a＜0，故 D 正确． 故选：D． 3．（5 分）已知数列{an}满足 a1＝2，an＝1+ A．2 B． （n＞1，n∈N*），则 a3＝（　　） C． 【解答】解：根据题意，当 n＝2 时，有 a1＝2，a2＝1+ D． ＝ ；当 n＝3 时，有 a3＝1+ 故选：C． 4．（5 分）已知向量 ＝（1，2）， ＝（3，x），若 ∥ ，则实数 x＝（　　） A．3 B．﹣ 【解答】解：∵ ∥ ，∴x﹣2×3＝0， C．5 D．6 ＝ ． 解得 x＝6． 故选：D． 5．（5 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若∠A＝45°，a＝ （　　） A．60° B．75° C．60°或 120° ，b＝ D．15°或 75° 【解答】解：在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若∠A＝45°，a＝ 利用正弦定理： ，整理得 ，则∠C＝ ＝ ，b＝ ， ， 所以 B＝60°或 120°， 当 B＝60°时，C＝75°， 当 B＝120°时，C＝15°． 故选：D． 6．（5 分）已知向量 ， 满足| |＝2，| |＝1，（ ﹣ ）⊥ ，则 ， 的夹角是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设向量 ， 的夹角为 θ，由| |＝2，| |＝1，（ ﹣ ）⊥ ， 所以（ ﹣ ）• ＝ • ﹣ ＝0， 即 2×1×cosθ﹣12＝0， 解得 cosθ＝ ； 又 θ∈[0，π]， 所以 θ＝ ； 即 ， 的夹角是 ． 故选：A． 7．（5 分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为 堑堵．已知在堑堵 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝2，AA1＝2 ，BC＝2 ，则 CA1 与平面 ABB1A1 所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解答】解：在堑堵 ABC﹣A1B1C1 中，因为侧棱垂直于底面，∠ABC＝90°， 所以 ，又 BB1∩AB＝B，所以 BC⊥面 ABB1A1， ∴∠CA1B 就是 CA1 与平面 ABB1A1 所成的角， ∵AB＝2，AA1＝2 ，BC＝2 ，则 AC＝ ，A1C＝ ＝4 ． ∴sin∠CA1B＝ ＝ ，∴ 则 CA1 与平面 ABB1A1 所成角的大小为 300． 故选：A． 8．（5 分）设变量 x、y 满足约束条件 A．0 B．2 【解答】解：作出约束条件 ，则目标函数 z＝x+y 的最大值为（　　） C． D．3 对应的平面区域如图阴影部分所示； 由 z＝x+y 得 y＝﹣x+z，平移直线 y＝﹣x+z， 由图象可知当直线 y＝﹣x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣x+z 的截距最大，此时 z 最大； 由 ，解得 ，即 A（1，1）， 代入目标函数 z＝x+y 得 z＝2，即目标函数 z＝x+y 的最大值为 2． 故选：B． 9．（5 分）设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，a3＝3，S3＝9，则首项 a1＝（　　） A．﹣ C．1 或﹣ B．12 D．3 或 12 【解答】解：Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，a3＝3，S3＝9， ∴当公比 q＝1 时，a1＝3， 当公比 q≠1 时， 解得 或 ， ， ∴首项 a1 的值为 3 或 12． 故选：D． 10．（5 分）已知空间直线 a、b、c，平面 α，给出下列命题： ① 若 a⊥b，b∥α，则 a⊥α； ② 若 a⊥α，b∥α，则 a⊥b； ③ 若 a⊥b，b∥c，则 a∥c； ④ 若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．② D．②③④ 【解答】解：①若 a⊥b，b∥α，则 a⊂α 或 a∥α 或 a 与 α 相交，相交也不一定垂直，故①错误； ② 若 a⊥α，则 a 垂直与 α 平行的所有直线，而 b∥α，所以 a⊥b，故②正确； ③ 若 a⊥b，b∥c，则 a⊥c，故③错误； ④