专题一 核心考点速查练 考点 03 平面向量 核心考点呈现 1.以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运算． 2.对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示 及应用． 3.平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题．数量积的综合应 用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查． 1．下列命题正确的是（ ） r v v r r r A．若 a  0 ，则 a  0 B．若 a  b , 则 r r 或 a  b ab r r r r r r v v C．若 a, b 为平行向量,则 a, b 同向 D．若 a, b 为单位向量,则 a  b 【答案】D r r r 【解析】对于 A，若 a  0 ，则 a  0 ，所以 A 错误； v v r r r r 对于 B，设 a  (1, 0) , b  (0,1) ，则 a  b  1 ，此时 a  b ，所以 B 错误； r r r r r r v 对于 C，若 a, b 为平行向量,则 a, b 同向或反向，所以 C 错误； v 对于 D，若 a, b 为单位向量,则 a  b  1 ，所以 D 正确； 故选：D 2．已知向量AB与向量 a＝(1，－2)反向共线，|AB|＝2，点 A 的坐标为(3，－4)，则点 B 的 坐标为(　　) A．(1,0)　　　　　　 B.(0,1) C．(5，－8) D.(－8,5) 【答案】A 【解析】依题意，设AB＝λa，其中 λ＜0，则有|AB|＝|λa|＝－λ|a|，即 2＝－λ，∴λ＝－ 2，AB＝－2a＝(－2,4)，因此点 B 的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，故选 A. uur uuu r uuu r △ ABC BC 4OA  OB  OC =0 ，那么（ 3．若 O 是 所在平面内一点，D 为 边的中点，且 ） uuu r uuu r OD   AO A． uuu r uuu r OD   2 AO B． uuu r uuu r OD  2 AO C． uuu r uuu r OD  AO D． 【答案】C uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r  OB  OC  2 OD ,  4 OA  2 OD  0,  OD  2 AO BC . 【解析】如图，D 为 的中点， 故选 C. 4．在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN＝NC，P 是 BN 上的一点，若AP＝mAB＋AC， 则实数 m 的值为(　　) A．　　 B．　　　　 C．1　　 D．3 【答案】B 【解析】：.如图，因为AN＝NC，P 是BN上一点， 所以AN＝AC，AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN. 因为 B，P，N 三点共线， 所以 m＋＝1，所以 m＝. 5．已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点 P 满足OP＝（OA＋ OB＋2OC），则点 P 一定为△ABC 的(　　) A．AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB 边的中点 【答案】B 【解析】：如图设 AB 的中点为 M，则OA＋OB＝OM，所以OP＝(OM＋2OC)，即 3OP＝ OM＋2OC⇒OP－OM＝2OC－2OP⇒MP＝2PC.又MP与PC有公共点 P，所以 P，M，C 三点 共线，且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个三等分点． r r r r r r r r r r | a  b |  | a  b |  2 | a | a b a 6．若两个非零向量 、 ，满足 ，则向量  b 与 a 的夹角为（ ） 2 B． 3 5 A． 6  C． 3  D． 6 【答案】C r r r r r r r 【解析】若两个非零向量 a 、 b ，满足 | a  b || a  b | 2 | a | r r r r r r 分别平方： | a  b || a  b |� agb  0 r r r r r | a  b | 2 | a |� b  3 a r r r ( a  b) � a 1 cos   r r r  ,    ,故答案选 C | a b |� |a| 2 3 uuu r uuu r  ABC AB � AC  0 ”是“ ABC 为钝角三角形”的（ 7．在 中，“ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A uuu r uuu r uuu r uuu r Q AB � AC  AB � AC cos A  0 ， 【解析】  cos A  0 ，则 A 为钝角， uuu r uuu r AC  0 ” � “ ABC 是钝角三角形”，  “ AB � 另一方面，“ ABC 是钝角三角形” � A “ 是钝角”. uuu r uuu r AB � AC  0 ”是“ ABC 为钝角三角形”的充分非必要条件. 因此，“ 故选：A. 8．在 ABC 中，下列命题正确的个数是（ ） uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur r AB  AC  BC AB  BC  CA  0 ；③点 O 为 ABC 的内心，且 ① ；②  uuu r uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r OB  OC �OB  OC  2OA  0 ，则 ABC 为等腰三角形；④ AC � AB  0 ，则 ABC A．1   为锐角三角形． B．2 C．3 D．4 【答案】B uuu r uuu r uur AB  AC  CB ，题中的说法错误； 【解析】：①由向量的减法法则可知： uuu r uuu r uur r ② 由向量加法的三角形法则可得： AB  BC  CA  0 ，题中的说法正确； ③ 因为 uuu r uuu r uuu r uuu r uur (OB  OC ) � (OB  OC  2OA)  0 ，即 uur uuu r uuu r CB � ( AB  AC )  0 ； uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur ( AB  AC ) � ( AB  AC )  0 | AB |  | AC |， AB  AC  CB 又因为 ，所以 ，即 所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确； uuu r uuu r uuu r uuu r AC � AB �cos A  0 ，据此可知 ④ 若 AC � AB  0 ，则 �A 为锐角，无法确定 ABC 为 锐角三角形，题中的说法错误．综上可得，正确的命题个数为 2.故选：B. uur uur uuu r PA （ � PB + PC ) 的最小 9．已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 值是(　　) A． 2 3 B． 2 4 C． 3   D． 1 【答案】B 【解析】如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴 建立平面直角坐标系， 则 A(0, 3), B (1,0), C (1, 0), 设 P ( x, y ) ， uur uur uuu r PA  (  x , 3  y ), PB  (  1  x ,  y ), PC  (1  x,  y ), ， 则 uur uur uuu r 3 3 2 2 2 PA （ � PB + PC )  2 x  2 3 y  2 y  2[ x  ( y  ) ]， 所以 2 4 当 x  0, y  3 3 uur uur uuu r  。故选：B。 时， 取得最小值，为 PA （ � PB + PC ) 2 2 uuu v uuu v uu v uuu v ，AB  AC  2 ，则 u 10．在锐角 V ABC 中， B  60� AB � AC 的取值范围为（　　） �1 �  ,12 � B． � �4 � A．  0,12  C．  0, 4 D．  0, 2 【答案】A 【解析】：以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴建立坐标系， uuu v uuu v uuu v B  60 � ， AB  AC  BC  2 ，∴ C ∵ （，） 1 3 ，设 A （，） x0 ∵ V ABC 是锐角三角形，∴ 即 A 在如图的线段 DE A  C  120� ，∴ 上（不与 uuu v uuu v 1 AB � AC  x 2  x （） x 则 2 2 D，E  30� ＜＜ A 90� ， 重合），∴ 1＜＜ x 4 ， 1 uuu v uuu v 0 12 ． AC 的范围为（，） 4 ，∴ AB � 故选：A． r r r r a  1,  2 b   11．已知 ，   1, k  ，若 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是______. � 1� k � �, 2  U � 2, � 【答案】 � 2� r r r r r 【解析】设 a 与 b 的夹角为  ，由于向量 a 与 b 的夹角为锐角，故 cos   0 ，且向量 a 与 1  2k � 1 cos   0 � k � � 2 5 �1  k .所以 � ， � 2 ，所以 r 不同向，即 � � k �2 1� k  2 1 �  �0 b � � 1� k � �, 2  U � 2, � � 2 �. 故填： � 1� k � �, 2  U � 2, � � 2 �. 12．已知 D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列 命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的 个数为________. 答案：3 解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错误；BE＝BC＋CA＝a＋b，故② 正确； CF