第四章 对数运算与对数函数 期末综合复习测评卷 一、单选题 log3 4  1．计算 log 2 3 �  3 A．1 B．2 2．设 a  log 0.1 2 ， log 3 4 b  log 30 2 的值为（ ） C．3 ，则（ D．4 ） A． 4ab  2(a  b)  3ab B． 4ab  2( a  b)  3ab C． 2ab  3(a  b)  4ab D． 2ab  3( a  b)  4ab x y x y 3．若 2  2  3  3 ，则（ A． ln( y  x  1)  0 B． ） ln( y  x  1)  0 C． ln | x  y | 0 D． ln | x  y | 0 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠 肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： t* t* )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ A．60 B．63 1 A．是偶函数，且在 ( , �) 单调递增 2 1 A． C． 1 e ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I( ）（ln19≈3） D．69 ） 1 1 B．是奇函数，且在 ( , ) 单调递减 2 2 1 C．是偶函数，且在 (�,  2 ) 单调递增 log x 1 ( x  1)  1 K 0.23(t 53) C．66 5．设函数 f ( x)  ln | 2 x  1|  ln | 2 x  1| ，则 f(x)（ 6．若 I (t )= D．是奇函数，且在 (�,  2 ) 单调递减 ，则 x 的取值范围是 (1, �) B． (�, 1) �(1, �) 7．在同一直角坐标系中，函数 D． y  a x  1 ， ( 1, 0) U (0, �) (�,0) U (0, �) y  log a 1 x （ a0 且 a �1 ）的图象可能是（ ） A． B． 8．已知函数 f  x   log 2 x  1 c � y y  g  x   A． m   9．已知函数 2 2  1, 2 ， g  x   f  x   f  x   m ，若存在实数 a ， b ， B． m  2 f  x   ex  x  2 ， g  x   ln x  x  2 ，且 B． C． a  b  2 D．  2  m, 2 m  6  上的偶函数 ） D． m  C． m  3 A． a  b 10．已知定义在 D． ，使得 a  b  c ，则实数 m 的取值范围是（ 7 4 二、多选题 的定义域为 C． f  x 在 f  a  g  b  0 1 4 ，则下列结论错误的是（ g  a  0  f  b g  a  0  f  b  2  m, 0  上单调递减，则函数 f  x 的解析式可能为（ ） A． f  x   x2  m B． f  x   m C． f  x   xm D． f  x   log m  x  1 11．已知 f  x 为定义在 R 上的偶函数，当 x �0 时，有 f  x   log 2  x  1 A． ，下列命题正确的是（ ） f  2020   f  2021  0 B．函数 f  x C．直线 yx 在定义域上是周期为 2 的函数 与函数 f  x 的图象有 2 个交点 ） x f  x  1   f  x  ，且当 x � 0， 1 时， D．函数 f  x 12．对于函数 的序号是（ A． 的值域为 f  x ，  11 定义域中任意的 x1 , x2  x1 �x2  ，有如下结论，当 f  x   lg x 时，上述结论中正确结论 ） f  x1  x2   f  x1  �f  x2  B． f  x1 � x2   f  x1   f  x2  �x  x � f  x1   f  x2  f �1 2 � 2 D． � 2 � f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x2 C． ＞0 三、填空题 1 x 13．函数 y  2  log 2 x  在区间[1，2]上的最大值为______． x  log x, x  0 � f ( x)  � x 2 2 , x �0 14．已知函数 ，则 f [ f (8)]  _______． � 15．关于函数 ① 函数 ② 函数 f  x   lg y  f  x y  f  x ③ 当 x  0 时， ④ ⑤ f ( x) 在 f  x x2  1 ( x  R, x | x| 0) 的下列命题： 的图象关于 y 轴对称； 的最小值为 f  x lg 2 ； 是增函数；当 x  0 时， [1,0),[1, �) f  x 是减函数； 上是增函数； 无最大值，也无最小值． 其中正确命题的序号是_________． x �1 � f  x   � � g x  log x 2  2ax  4 a  0    ，若对任意的 x1 � 0,1 ，都存在 x2 � 0, 2 ， 16．已知函数 4 �2 �与   使得 f  x1   g  x2  四、解答题 ，则实数 a 的取值范围是______. 17．已知函数 f  x   2x （1）解不等式 （ x �R ），记 f  2 x   f  x  �6 （2）设 k 为实数，若存在实数 18．已知在函数 y  log 1 x 2 g  x  f  x  f  x ； x0 � 1, 2 时，使得 （3）求 S  f  t S  f  t 19．已知函数 （1）求函数 （2）若函数 成立，求 k 的取值范围． S  f  t ； 的单调性； 的最大值. y  f  x y  f  x y  f  x 20．已知函数 g  2 x0   k � g 2  x0   1 的图象上有 A，B，C 三点，它们的横坐标依次为 t， t  2 ， t  4 ，其中 t �1 . （1）设 VABC 的面积为 S，求 S 关于 t 的解析式 （2）判断函数 ． f  x 的表达式为 f  x   log a  2  x   log a  2  x   0  a  1 的定义域； 的最小值为 1 ，求实数 a 的值． 是偶函数，且当 x �0 时， （1）求当 x  0 时， f  x f  x   log a  3  ax  （ a  0 ，且 a �1 ）. 的解析式； a �1 � g  a  � � 2 （2）若在区间  1,1 上恒有 f  x  �x ，求 �2 �的取值范围. 21．已知函数 f ( x )  log a 2m  1  mx (a  0, a �1) 是奇函数，定义域为区间 D（使表达式有意义的实数 x 的 x 1 集合）． （1）求实数 m 的值，并写出区间 D； （2）若底数 a 满足 0  a  1 ，试判断函数 y  f ( x) 在定义域 D 内的单调性，并说明理由； （3）当 x �A  [a, b) 22．已知函数 （1）若 （ A �D ，a 是底数）时，函数值组成的集合为 f  x   log a x  a  0, a �1 f  a  4  �f  3a  （2）设 a  2 ，函数 . ，求实数 a 的取值范围； g  x    f 2  x    3  2m  f  x   m  2  0  m �1 10 g  x � ； （i）若 x �� 1, 2m � � �，证明： 3 . [1, �) ，求实数 a、b 的值． 1 � � （ii）若 x �� , 2 �，求 g  x  的最大值 h  m  .参考答案 2 � � 1．D 【分析】 由对数的换底公式和对数的运算性质化简求值. log3 4  【解析】 log 2 3 �  3 1 log 3 4  log 3 4 lg 3 2 lg 2 �  32 lg 2 lg 3  2  3log 2  2  2  4 . 3 故选：D. 2．B 【分析】 1 由对数函数性质得 a  0, b  0 ，然后用换底公式计算 a 【解析】因为 a  log 0.1 2 ， b  log 30 2 ， a  0, b  0  1 b 得其范围后可得结论． , 1 1 �3 �   log 2 0.1  log 2 30  log 2 3 �� , 2 � �2 �， 所以 ab  0 ， a b 3 1 1 所以 2  a  b  2 ，所以 4ab  2(a  b)  3ab ， 故选：B. 【点睛】 本题考查对数函数的性质，考查换底公式、对数的运算，掌握不等式的性质是解题关键． 3．A 【分析】 x x y y f  t   2t  3 t x y 2  3  2  3 将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1 的 大小关系，进而得到结果. x y x y x x y y 【解析】由 2  2  3  3 得： 2  3  2  3 ， 令 f  t   2t  3t Q y  2x ， 为 R 上的增函数，