第四章过关检测 一、选择题 1.函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2.函数 y=lo g1 2 x,x∈(0,8]的值域是(　　) A.[-3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,3] 3.函数 f(x)= x+ 1 的零点是(　　) x 2 +1 A.1 B.-1 4.若 2<a<3,化简 ❑ A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1 C.±1 √ ( 2 - a )2+ √4 ( 3 - a )4 D.0 的结果是 (　　) 5.设 f(x)=3x-x2,则下列区间中,使函数 f(x)有零点的是(　　) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 7.如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 8.方程 log2(x+4)=3x 解的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 9.设 a,b,c 都是正数,且 4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac C. 2 2 1 = + c a b B.ab+bc=ac D. 1 2 1 = − c b a 10.若函数 f(x)=ax+b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 11.有一组实验数据如下表所示: x y 1 1.5 2 5.9 3 13.4 4 24.1 5 37 则下列所给函数模型不适合的有(　　) A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 12.已知函数 f(x)= { kx +1 , x ≤ 0 , 则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的 4 个 lo g2 x , x>0 , (　　) 判断,其中正确的是 A.当 k>0 时,有 3 个零点 B.当 k<0 时,有 2 个零点 C.当 k>0 时,有 4 个零点 D.当 k<0 时,有 1 个零点 二、填空题 13.已知函数 f(x)= { 3 x , x ≤1 , 若 f(x)=2,则 x=　　　　　. - x , x >1, 14.若关于 x 的方程 3x2-5x+a=0 的一个根大于 1,另一个根小于 1,则 a 的取值范围 是　　　　. 15.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来个数的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:时,y 表示病毒个数),则 k=　　　　　,经过 5 时,1 个病 毒能繁殖为　　　　　个. 1 16.已知函数 f(x)= x 2 -lo g 12 x,若 0<a<b<c,则 f(a)·f(b)f(c)<0,那么下列说法一 定正确的是　　　　　(填序号). ①f(x)有且只有一个零点;②f(x)的零点在区间(0,1)内;③f(x)的零点在区间(a,b)内; ④f(x)的零点在区间(c,+∞)内. 三、解答题 17.(10 分)(1)计算: 7 2 9 ( ) 1 2 0 +(lg 5) + 27 64 ( ) - 1 3 ; (2)解方程:log3(6x-9)=3. 18.(12 分)已知函数 f(x)=ax3-2ax+3a-4 在区间(-1,1)内有唯一零点. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 a= 32 ,用二分法求方程 f(x)=0 在区间(-1,1)内的根. 17 19.(12 分)已知函数 y=log4(2x+3-x2). (1)求函数的定义域; (2)求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 值. 20.(12 分)已知甲、乙两个工厂在今年 1 月份的利润都是 6 万元,且甲厂在 2 月份 的利润是 14 万元,乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(单位: 万元)与月份 x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型: f(x)=a1x2+b1x+6,g(x)=a23x+b2(a1,a2,b1,b2∈R). (1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润; (2)在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)与 g(x)的草图,并根据草图比较今年甲、 乙两个工厂的利润的大小情况. 21.(12 分)已知函数 f(x)= √x . ❑ (1)判断函数 f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明. (2)函数 g(x)=f(x)+log2x-2 在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点 的近似值(精确度为 0.3);若没有零点,说明理由. (参考数据: √ 1. 25 ≈1.118, ❑√ 1. 5 ≈1.225, ❑√ 1. 75 ❑ ≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807) 22.(12 分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(单 x2 位:万元)与年产量 x(单位:吨)之间的函数关系可以近似地表示为 y= -48x+8 5 000.已知此生产线年产量最大为 210 吨.若每吨产品平均出厂价为 40 万元,则当年 产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 参考答案 1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. B 7.C 8. C 9. AD 10. AD 11. ABD 12. CD 13. log32 14. (-∞,2) 15. 2ln 2　1 024 16.①② 17. 解(1)原式= 25 9 ( ) 1 2 0 +(lg5) + 3 -1 3 [( ) ] 3 4 = 4 5 +1+ =4. 3 3 (2)由方程 log3(6x-9)=3,得 6x-9=33=27, 则 6x=36=62,得 x=2. 经检验,x=2 是原方程的解. 故原方程的解为 x=2. 18. 解(1)∵函数 f(x)在区间(-1,1)内有唯一零点, ∴ , 或 a<2 , {ff ((-11))>0<0, 或 {ff (-( 11)<)>00 ,, 即{a>2 {a>1 . a<1 ∴1<a<2. (2)若 a= 32 32 3 64 28 ,则 f(x)= xx+ , 17 17 17 17 ∵f(-1)>0,f(1)<0,f(0)= 28 >0, 17 ∴零点在区间(0,1)内. 又 f(0.5)=0,∴f(x)=0 的根为 0.5. 19. 解(1)由 2x+3-x2>0,解得-1<x<3, 所以函数的定义域为{x|-1<x<3}. (2)将原函数分解为 y=log4u,u=2x+3-x2 两个函数.因为 u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4, 所以 y=log4(2x+3-x2)≤log44=1. 所以 y 的最大值为 1,此时 x=1. 20. 解(1)依题意,由 )=6 , 得 a +b =0 , {ff((21)=14 , {4 a +2b =8 , 1 1 1 解得 由 1 { a 1=4 , 于是 f(x)=4x2-4x+6. b1=- 4 , , 得 3 a +b =6 , {gg (( 1)=6 2)=8 , {9 a + b =8 , 解得 2 2 2 2 { 1 a2= , 1 3 于是 g(x)= ×3x+5=3x-1+5. 3 b 2=5 , 故甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)=86 万元,乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)=86 万元,故有 f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等. (2)在同一直角坐标系中画出函数 f(x),g(x)的草图,如图所示. 从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润. 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x); 当 5<x≤12 时,有 f(x)<g(x). 21. 解(1)函数 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.证明如下:设 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= √ x1−❑√ x 2 = ❑ 所以 f(x1)<f(x2). ( ❑√ x 1 - ❑√ x 2 )( ❑√ x 1+ ❑√ x 2 ) √ x 1+ √ x2 ❑ ❑ = x1 - x2 <0, √ x 1+ ❑√ x 2 ❑ 故函数 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增. (2)因为 g(x)= g(1)= √ x +log2x-2 在区间(1,2)内单调递增, ❑ √ 1 +log21-2=-1<0,g(2)= ❑√ 2 +log22-2= ❑√ 2 -1>0, ❑ 所以函数 g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点 x0. 因为 g(1.5)= √ 1. 5 +log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,所以 x0∈(1.5,2). ❑ 又因为 g(1.75)= √ 1. 75 +log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,所以 x0∈(1.5,1.75). ❑ 又 1.75-1.5=0.25<0.3,所以 g(x)的零点的近似值可取 1.5. (注:函数 g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以) 22. 解设可获得总利润为 R(x)万元, 则 R(x)=40x-y=40x- 2 x 5 +48x-8000 2 =- x 5 =- 1 (x-220)2+1680(0≤x≤210). 5 +88x-8000 ∵R(x)在区间[0,210]上单调递增, ∴当 x=210 时, R(x)max=- 1 (210-220)2+1680=1660. 5 故当年产量为 210 吨时,可获得最大利润,最大利润为 1660 万元.