专题 16 三点共线充要条件的向量定理型 [真题再现] 例1 （2020·天一中学六月模拟·12）已知 VABC 中， AB 边上的中线 CM  2 ，若动  uuu r uuu r uuu r uuu r 1 uuu r uuur AP  sin 2  � AB  cos 2  � AC   �R  PA  PB � PC 点 P 满足 ，则 的最小值是_____ 2  _. 【答案】 2 uuu r r� uuur uuuu r uuur �1 uuu AP = sin 2  � AB � cos 2  � AC = sin 2  AM  cos 2  AC � 【分析】由 可得 P 在线段 CM �2 � uuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur PC  2 PM � PC  2 PM �PC ，而 上，故  PA  PB  � uuuu r uuur PM + PC =CM  2 ，有基本 不等式立得. uuu r 1 uuu r uuur uuu r uuuu r uuur AP  sin 2  � AB  cos 2  � AC   �R  【解析】由 ，得 AP  sin 2  AM  cos 2  AC ， 2 因为 sin 2   cos 2   1  uuu r uuu r uuur  ，所以 P 在线段 uuuu r uuur CM 上 uuuu r uuur PC  2 PM � PC  2 PM �PC ， 所以 PA  PB � uuuu r uuur PM + PC =CM  2 ， 又因为 uuuu r uuur uuuu r uuur �PM + PC PM PC �� 则 � 2 � 2 � �=1 uuuu r uuur � （当且仅当 PM = PC ，即 P 为 CM 中点时，“=” � 成立）．  uuu r uuu r uuu r PA  PB � PC 故 的最小值是  2 ． 例2 （2020·扬州六月最后一卷 1 uuuu r uuu r uuur   ·12）已知点 M 是边长为 2 的正 VABC 内一点，且 AM   AB   AC ，若 3， 则 uuur uuuu r MB � MC 的最小值为_______. 1 【答案】 3 uuuu r uuu r uuur r � �1 uuur � �1 uuu AM   AB   AC  3 � AB � 3 � AC � 【分析】凑系数使其代数和为 1， �3 � �3 �，取 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuuu r uuur uuur AE  AB 、 AF  AC ，即 AM  3 AE  3 AF ，而 3  3  1 可得 M、E、F 三 3 3 uuur uuuu r 1 MC  MD 2  BC 2  MD 2  1 （其中 D 是 BC 的中点）， 点共线.再由极化恒等式得 MB � 4 MDmin  1 2 2 3 uuur uuuu r AD  MC 的最小值为 3 . 3 3 ，所以 MB � 点评： uuu r uuu r uuu r OP , OA , OB 1.在平面内, 是不共线向量,设 uuu r uuu r uuu r OP  xOA  yOB ( x, y �R ) ，P、A、B 三点共线 � x  y  1 上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为 1”,利用此结论, 可求交点位置向量或者两条线段长度的比值. 2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的， 当系数和不是“1”时，应化“1”. 例3 （2020·扬州上学期期末·14）在平面直角坐标系 xOy 中， A 和 B 是圆 uuu r uuu r 2 C :  x  1  y 2  1 上两点，且 AB  2 ，点 P 的坐标为（2,1），则 2PA  PB 的 取值范围为 . � � 【答案】 � 5  2, 5  2 � 【分析】设 uuu r uuu r uuur 2 PA  PB = PD ， uuu r 1 uuu r 1 uuur PA= PB + PD 则 2 2 如图，延长 BA 至 D ，使 AD  AB uuu r uuu r uuur 为求 2 PA  PB = PD 的取值范围，只需求点 D 的轨迹. 遇到圆的弦想中点、垂径定理，取 AB 中点为 E ，设 D ( x, y ) Rt CDE 中， CE  2 3 2 DE  ， 2 2 ，故 CD  5 ，即 D 的轨迹是以 C 为圆心， 5 为半径的圆 uuu r uuu r uuur � � � � ∴ PD �� 5  2, 5  2 � ，即 2PA  PB 的取值范围为 � 5  2, 5  2 � . 点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量 uuur PD ，其起点为定点，转 化为探究终点轨迹问题； （2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”； uuu r uuu r 3PA  PB （3）已知条件不变，若所求变为求 的取值范围，此时应设 uuu r 1 uuu r 2 uuur uuu r uuu r uuur PA= PB + PD ，想一想，为什么？ 3PA  PB =2 PD ，则 3 3 例4 uuu r uuu r uuu r AO = x AB + y AC O V ABC AB = 6 AC = 10 若 是锐角 的外心， ， ， ， 2 x +10 y = 5 1 【答案】 3 ，则 cos �BAC = ________ . 2 uuu r uuu r uuu r x + 2 y =1 【 分 析 】 由 2 x +10 y = 5 得 5 ， 将 AO = x AB + y AC 变 形 为 uuu r 2 r r uuu r 5 uuu r uuu r 1 uuu r 5 uuu 1 uuu AO = x（）（） � AB + 2 y � AC AD = AB AE = AC . 如 图 ， 作 ， ， 则 5 2 2 2 2 D、、 O E 三点共线，且 OE ^ AC . 在 RtV ADE ， AD = 15 ， AE = 5 ，故 cos �BAC = 1 3. A E O B C D [强化训练] 1.（2020 届·南通 12 月考·13）已知 ABC 中， AB  3, AC  1 ,且 3 3 uuu r uuur uuu r uuur  AB  3  1    AC   �R  的最小值为 2 ，若 为边 PC P AB 上任意一点,则 PB � 的最小值是 . 25 【答案】 16  uuu r uuur uuur uuur  AB  3 1   AC =  AB  1   3 AC ，     【解析】由条件   uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur  AB  3 1   AC =  AB  1   AD ，其系数和为 1     设 3 AC = AD ，则 uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur  AB  3 1   AC  AE AE =  AB  1   AD ，故 B、、     D E 三点共线 设 ，则 uuu r uuur 3 3 3 3 由  AB  3  1    AC   �R  的最小值为 2 ，即点 A 到 BD 的距离是 2 故 A  3 VABC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 BC  7 , 设 BC 的 中 点 为 O ， 由 极 化 恒 等 式 得 uuu r uuur uuur 2 7 uuur 3 PB � PC  PO  ，而 PO  min 4 4 . 25 uuu r uuur  ∴ PB � PC 的最小值是 16 . 2.（2020·启东期初）正方形 ABCD 的边长为 1，O 为正方形 ABCD 的中心，过中心 O 的直 线 与 边 AB 交 于 点 M ， 与 边 CD 交 于 点 N ， P 为 平 面 上 一 点 ， 满 足 uuur uuur uuur uuuu r uuur 2OP   OB  (1   )OC ，则 PM � PN 的最小值为 7 【答案】 16  . uuur uuur uuur uuu v 2 OP   OB  (1   ) OC 【解析】根据题意， ，∴ 2OP 的终点在线段 BC 上， uuu v 1 uuu v 1 uuu v2 1 2OP � OP � OP � ∴ 2 ，∴ 4 ，∴ 16 ； uuuu v uuuv v OM 0  ON  ， 又 O 是 MN 的中点，∴ uuuu v uuuv 2 OM cos ‫��׳‬ ON  ∴ 2 uuuu v uuuv  2 2 1 2，  uuuu v uuu v  uuuv uuu v PN  OM  OP �ON  OP ∴ PM �  uuuu v uuuv uuu v uuuu v uuuv uuu v2 1 1 7  OM � ON  OP �OM  ON  OP �  0    2 16 16 ，   7 uuuu r uuur  ∴ PM � PN 的最小值是 16 ． 3. （ 2020· 镇 江 五 月）在平面直角坐标系 xOy 中， A, B是 圆 C : x2  4x y2  0 上 两 动 点 ， 且 AB  2 ， 点 P 坐 标 为 (4, 3) ， 则 的取值范围为 ． � � 【答案】 � 7,3 7 � uuu r 2 uuu r 1 uuur uuu r uuu r uuur PB  PA  PD 【简析】设 3PB  2 PA  PD ，则 ， 3 3 如图， uuur uuu r BD  2