【知识要点】 一、空间的三种距离 1、点点距：两点 之间的线段 的长度. 常见求法：①几何法：把该线段放到三角形中解三角形.② 向量法：利用公式 求. 2、点线距：点 到直线 的距离为点 到直线 的垂线段的长. 常见求法：（1）几何法：是找或作直线 的垂线，再求垂线段的长度，一般要把垂线段放到三角形 中去解三角形.（2）向量法：利用点 到直线 的距离公式 求解，其中 ， 是直线 的方向向量 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 3、点到平面的距离：已知点 到平面 是平面 外的任意一点，过点 ，则 是点 到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三 角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点 知 ，垂足为 的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 常用求法：①几何法：作出点 面 作 的距离，则可以根据 是平面 的 一条斜线， 为平面 求出点 到平面 到平面 的法向量，则 到平面 的距离，如果已知点 到平 的距离；③ 向量法：如下图所示，已 的距离为 ； A B C α 二、以上所说的距离（点点距，点线距，点面距）都是对应图形上两点间的最短距离.所以均可以用求函数 的最小值法求各距离.. 三、以上距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解，体现了数学中的转化思想，把空间的 问题转化为平面的问题，把复杂的问题转化成简单的问题解答. 四、在三种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法. 五、在这三个距离中，求点到平面的距离是重点和难点. 【方法讲评】 空间点点距 方法一 几何法 使用情景 把该线段放到三角形中比较方便解三角形 解题步骤 把该线段放到三角形中解答. 方法二 向量法 使用情景 解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标. 建立空间直角坐标系 分别求出两个点 的坐标 代入空间两点间的距离公式 解题步骤 【例1】 已知矩形 ABCD 的边长 ,一块直角三角板 PBD 的边 ，如图． （1）要使直角三角板 PBD 能与平面 ABCD 垂直放置，求 （2）在（1）的条件下，求二面角 的平面角的余弦值． P A B 的长； D C ，且 ∴ ， ， ，同理， ∴ . z P A o D y B 【点评】本题求 x C 的长，就是把 三角形中，再利用解三角形的知识解答，多利用直角三角函数和正弦余弦定理等. 学科.网 放到 【反馈检测 1】如图， 平面 （1）证明： ； （2）如果异面直线 与 ，矩形 所成的角的大小为 【例 2】如图，在三棱柱 ，且 ＝ （1）求异面直线 （2）求二面角 （3）设 为棱 的边长 ，求 ， 的长及点 中，H 是正方形 为 到平面 的中心， 的中点. 的距离. ， ⊥平面 . 与 所成角的余弦值； 的正弦值； 的中点，点 在平面 【解析】如图所示 ，建立空间直角坐标系，点 内，且 为坐标原点． ⊥平面 ，求线段 的长． （2）易知 ＝（0,2 设平面 AA1C1 的法向量 ，0）， ＝（－ ，－ ， ）． （x，y，z），则 ，即 不妨令 x＝ ，可得 （ ，0， 同样的，设平面 A1B1C1 的法向量 ）． （x，y，z），则 ，即 不妨令 y＝ ，可得 （0， ， 于是 所以二面角 A－A1C1－B1 的正弦值为 ）． , 从而 . . 【点评】本题中求 的长度就是利用了向量的方法，先分别求点 的坐标，再代入空间两点间 的距离公式. 【反馈检测 2】如图，已知 平面 , 为等边三角形， （1）若平面 平面 ，求 长度；（2）求直线 与平面 所成角的取值范围． 空间点线距 方法一 几何法 使用情景 比较容易找到点在直线上的射影，解三角形比较方便. 解题步骤 找到或作点在直线上的射影 方法二 使用情景 把该垂线段放到三角形中解答. 向量法 找点在直线上的射影比较麻烦，解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系， 写出点的坐标. 建立空间直角坐标系 ， 解题步骤 . 的方向向量 ，两个点 的坐标，其中 代入点到直线的距离公式 是直线 的方向向量 【例 3】如图，已知二面角 分别求出直线 ，其中 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 的大小为 ， 于 C， 于 ，且 ， （1）求异面直线 与 【点评】（1）本题中求点 所成角的大小；（2）求点 到直线 到直线 的距离. 的距离就是利用几何的方法，就是把点 到直线 的距离 放到三角形中，再利用解三角形的知识解答，多利用直角三角函数和正弦余弦定理等.（2）求点到直 线的距离，几何的方法用的要多一点. 学科.网 【反馈检测 3】如图，在直三棱柱 ， （1）求证： （侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面 ，且满足 , ；（2）求点 侧面 到直线 . 的距离；（3）求二面角 的平面角的余弦值. 点到平面的距离 方法一 几何法 使用情景 点在平面的射影位置比较容易确定. 解题步骤 找 作 证（定义） 求（解三角形） 方法二 等体积法 使用情景 点和平面内的点构成一个三棱锥，而三棱锥的一个高已知. 解题步骤 利用 方法三 向量法 使用情景 点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求平面 的法向量 求平面的斜向量 的坐标 代入公式 ，即得点 【例 4】如图， 是圆 垂直圆 的直径，且 （1）求证： 所在的平面， 是圆 到平面 上的点， 的距离. 是 ． 平面 【解析】（1）如图，连结 ；（2）求 并延长交 到平面 于 ，连结 的距离． ． 的中点， 为 的重心， （2）∵ 是圆 的直径，∴ 由（1），知 ，∴ 平面 ∵ 又 平面 ∴ 平面 ， ． 平面 ，∴ 平面 ，∴ ． ， 就是 ， 到平面 的距离． 【点评】（1）本题利用几何法求点到面的距离.（2） 化为点 到它在平面 的射影 到平面 的距离是空间的距离，可以转 的距离，再利用平面几何三角形的知识求 的长度.本题就是利用 转化的思想把空间的问题转化成平面的问题解答. 【反馈检测 4】如图所示，四边形 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）若 是菱形， 是 与 . 的交点， ； ， ， ，求 的长及点 到平面 的距离． 【例 5】如图， ， 是圆 的直径，点 在圆 上,矩形 ． （1）证明：平面 （2）若 平面 ，求点 ； 到平面 的距离． 【解析】（1） 【点评】本题利用等体积法求点到面的距离就显得比较简单. 所在的平面垂直于圆 所在的平面， 【反馈检测 5】如图，在四棱锥 ， （1）证明：平面 , 为 ⊥平面 中， 与 （1）求证： 的交点， ；（2）若 【例 6】如图，在直三棱柱 ；（2）求点 平面 中， 到平面 ，底面 为棱 是线段 是菱形， 上一点． 中点,求点 到平面 ； 的距离；（3）求二面角 的距离． . 的大小. （2） = ，设点 B 到平面 的距离为 所以 所以 所以点 ，解得 到平面 的距离为 . 〖解法二〗（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∴ ⊥ 【点评】本题既可以用等体积法，也可以利用向量的方法求点到平面的距离.到底哪一种方法简单， 要看具体题目，所以大家要提高选择能力. 学科.网 【反馈检测 6】如图，正三棱柱 （1）求证： 离. 面 ；（2）求二面角 的所有棱长都为 2， 为 中点. 的余弦值；（3）求点 到平面 的距 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 56 讲： 空间点点距、点线距、点面距的求法参考答案 【反馈检测 1 答案】（1）证明见解析；（2） （2）取 的中点 的中点 的大小等于异面直线 即 设 或 ， . , ，连 与 所成的角或其补角的大小， (或者由观察可知， ，不需分类讨论) ，则 若 ， ，由 . ，得 . 在 中， ， 点 到平面 若 综上所述， 的距离为 . ，由 ，显然不适合题意． 点 到平面 【反馈检测 2 答案】（1） ；（2） （2）由（1）可知：平面 的距离为 . ．学科.网 的一个法向量 ， 设直线 与面 所成角为 ，则 ，∴ 【反馈检测 3 答案】（1）证明见解析，（2） ，（3） 【反馈检测 3 详细解析】（1）证明：如右图，过 ， 且平面 侧面 侧面 ,又 底面 ，故 （2）由（1）知，以点 作 平面 ，所以 ，垂足为 ，因平面 侧面 ，有 ，所以 .又 ，又 ， .因为三棱柱 ABC—A1B1C1 ,从而 侧面 ，又 . 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 如图所示的空间直角坐标系， 又由线段 . ，可知 ，则 是直三棱柱，则 ． 轴、 轴，可建立 ， 上分别有一点 ，满足 所以 ，所以 , ， ， 所以点 到直线 的距离 . 【反馈检测 4 答案】Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【反馈检测 4 详细解析】（Ⅰ）证明：因为 所以 . 又因为 又 ， ，所以 ， . , 到 ， . 的距离为 ，