第 5 节 一元二次不等式的解法 【基础知识】 对 于 一 元 二 次 方 程 2 Δ=b − 4 ac ，它的解按照 的 两 根 为 ， ， 且 ， 设 可分三种情况，相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来 讨论一元二次不等式 或 的解集. 二次 函数 （ ） 的图象 有 两相异实 根 { x∨x < x 1 或x > x 2 } ax2 + bx+ c< 0x∨x < x< x { } 1 (a> 0) 的解集 有两 相等实根 无 实根 {x ∨x ≠ − 2ba } ∅ 【规律技巧】 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的 解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典例讲解】 例 1、求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解析】(1)因为 Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0， 所以方程－x2＋8x－3＝0 有两个不相等的实根 x1＝4－，x2＝4＋. 又二次函数 y＝－x2＋8x－3 的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}． (2)若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1. 若 a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得 x<或 x>1. 若 a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0. 【特别提醒】 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数 进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不 等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【变式探究】 (1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解为－<x<，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集是____ ____． (2)不等式≤0 的解集是________． 【答案】 (1)(－2,3)　(2)(－，1] (2)原不等式等价于(*) 由(*)解得－<x≤1. 【针对训练】 2 1、已知不等式 ax + bx +2>0 的解集为 的解集为（） { x∨−1< x <2 } ，则不等式 2 x 2 + bx+ a<0 A. { x∨x< −2 或x >1 } C. { x∨−2< x <1 } B. D. {x ∨x<− 1 或x> 12 } {x ∨−1< x< 12 } 科网 【答案】 D 若 2、已知函数 A． B． C． ，则实数 a 的取值范围为（ ） D． 【答案】D 【解析】 或 ，∴ 或 ，∴ 或 ， ∴ . 3、解不等式 【解析】 ∴原不等式的解集为 . 综合点评：注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合 二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当 时，需要计算相应二次 方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的 符号、根的大小分类讨论. 2 4、已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时， f ( x)=x −4 x ，则不等式 f (2 x +3)≤ 5 的解集为（ A． [− 5,5] 【答案】C B． [− 8,2] ） C． [− 4,1] D． [1,4 ] 【解析】 试题分析：当 x≥0 时， ，在上 为减函数，在 上为增函数 且， ， ，所以当 又因为函数 f ( x) 是偶函数，所以 时，有 ； 在上的解集为 所以，由 f (2 x +3)≤ 5 得： ,故选 C． 2 5、 “ x ∈ { a , 3 } ” 是不等式 2 x −5 x − 3≥ 0 成立的一个充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A .(3 ,+∞) ( B . − ∞ ，− 1 ∪¿ 2 ) C.¿ D. ¿ ∪( 3 ,+ ∞) 【答案】D 【练习巩固】 1、 求不等式 的解集. 2、求下列不等式的解集. （1） ； （2） . 的解集. 3、求不等式 小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断 求方程的根.（4）根据图象写解集. 4、 求不等式 的解集. 5. 已知方程 的解为（ ）. 的两根为 A．R B． ，且 ，若 ，则不等式 的符号.（3） C． 或 D．无解 6. 关于 x 的不等式 A． 的解集是全体实数的条件是（ B． C． 7. 在下列不等式中，解集是 A． B． C． D． 8. 不等式 9. D． 的是（ 的解集是 的定义域为 10、 求下列不等式的解集 （1） ； （2） 11. 若关于 x 的一元二次方程 ）. ）. . . . 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围.