幂函数与二次函数 1．一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一直角坐标系中的图象大致是(　　) 2．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 3．定义在 R 上的函数 f(x)＝－x3＋m 与函数 g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx 在[－1，1]上具有相同的单调性， 则 k 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 4．若对任意的 x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 5. 如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四 个结论：① b2>4ac；② 2a－b＝1；③ a－b＋c＝0；④ 5a<b.其中正确的是(　　) A．②④　　　　　 B．①④ C．②③ D．①③ 6．已知幂函数 f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于 y 轴对称，则下列选项正确的是(　 　) A．f(－2)>f(1)　　 B．f(－2)<f(1) C．f(2)＝f(1)　　 D．f(－2)>f(－1) 7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形(不能全为正方形)、 四条侧棱的延长线不交于一点的六面体．关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下 袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一，”其计算方法是：将上底面的长 乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面 的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩 形，上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为(　 　) A．　 B．　 C．39　 D． 8．已知 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在[0,1]内的最大值为－5，则 a 的值为(　 　) A．　 B．1 或　 C．－1 或　 D．－5 或 9. (多选题)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为直线 x＝－1.给出 下面四个结论：其中正确的结论是(　　) A．b2>4ac　　 B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0　　 D．5a<b. 10．(多选)已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2 的图象不经过原点，则 m＝(　 　) A．1　 B．2　 C．0　 D．3 11．（多选）如图给出四个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(　 ) A．① y＝x　　 B．② y＝x2 C．③ y＝x　　 D．④ y＝x－1 12．（多选）已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则它的图象不可能是(　 ) 13．幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数 m 的值为__ __. 14．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx－2(a≠0)，如果 f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则 f(x1＋x2)＝__ __. 15．若关于 x 的不等式 x2－4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立，则 m 的取值范围是_ __. 16．已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，不等式 f(x)<－2x 的解集为(1,3)，且方程 f(x)＋6a＝0 有两个 相等的实根，则 f(x)的解析式为_ _. 17．函数 f(x)＝x2＋2x，若 f(x)>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则实数 a 的取值范围为__ _；②恒 成立，则实数 a 的取值范围为_ __. 18．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)． (1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1， F(x)＝求 F(2)＋F(－2)的值； (2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0，1]上恒成立，试求 b 的取值范围． 19．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当 a＝2，x∈[－2，3]时，求函数 f(x)的值域； (2)若函数 f(x)在[－1，3]上的最大值为 1，求实数 a 的值． 20．已知二次函数 f(x)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)当∈[－1，1]时，函数 y＝f(x)的图象恒在函数 y＝2x＋m 的图象的上方，求实数 m 的取值范围． 答案与解析 1．一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一直角坐标系中的图象大致是(　　) 解析：选 C.若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，故可 排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，故可排除 D； 对于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故可排除 B.故选 C. 2．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 解析：选 A.由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2 ＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－＝ 2，所以 4a ＋b＝0 ，又 f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以 f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A. 3．定义在 R 上的函数 f(x)＝－x3＋m 与函数 g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx 在[－1，1]上具有相同的单调性， 则 k 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选 B.易知定义在 R 上的函数 f(x)＝－x3＋m 单调递减，所以函数 g(x)＝x2－kx＋m 在[－1，1]上 单调递减，所以抛物线的对称轴 x＝≥1，所以 k≥2.故选 B. 4．若对任意的 x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 解析：选 B.因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3 在 R 上递增，所以 3x＋a≤2x，可得 x≤－a，即 x∈(－∞，－a]，因 为对任意的 x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3 成立，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以 a＋2≤－a， 所以 a≤－1，即 a 的取值范围是(－∞，－1]，故选 B. 6. 如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四 个结论：① b2>4ac；② 2a－b＝1；③ a－b＋c＝0；④ 5a<b.其中正确的是(　　) A．②④　　　　　 B．①④ C．②③ D．①③ 解析：选 B.因为二次函数的图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称轴为 x ＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0，③错误；由对称 轴为 x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B. 6．已知幂函数 f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于 y 轴对称，则下列选项正确的是(　 　) A．f(－2)>f(1)　　 B．f(－2)<f(1) C．f(2)＝f(1)　　 D．f(－2)>f(－1) 解析：由幂函数 f(x)＝xn 的图象关于 y 轴对称，可知 f(x)＝xn 为偶函数，所以 n＝－2，即 f(x)＝x－2，则 f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以 f(－2)<f(1)，故选 B. 7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形(不能全为正方形)、 四条侧棱的延长线不交于一点的六面体．关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下 袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一，”其计算方法是：将上底面的长 乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面 的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩 形，上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为(　 　) A．　 B．　 C．39　 D． 解析：设下底面的长、宽分别为 x，y，则 2(x＋y)＝18，x＋y＝9，则 x∈[ ，9)．则“刍童”的体积为 ×3×[2(6＋x)＋(2x＋3)y]＝(30＋2xy＋y)＝(－2x2＋17x＋39)＝－x2＋x＋，当 x＝时，“刍童”的体积取得最大 值，最大值为，故选 B. 8．已知 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在[0,1]内的最大值为－5，则 a 的值为(　 　) A．　 B．1 或　 C．－1 或　 D．－5 或 [解析]　f(x)＝－4(x－)2－4a，对称轴为 x＝， ① 当≥1，即 a≥2 时，f(x)在[0,1]上递增， ∴ymax＝f(1)＝－4－a2， 令－4－a2＝－5，得 a＝±1(舍去)． ② 当 0<<1，即 0<a<2 时，ymax＝f()＝－4a， 令－4a＝－5，得 a＝. ③ 当≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,1]上递减， ∴ymax＝f(0)＝－4a－a2，令－4a－a2＝－5， 得 a＝－5 或 a＝1(舍去)，综上所述，a＝或－5.故选 D. 10. (多选题)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为直线 x＝－1.给 出下面四个结论：其中正确的结论是(　　) A．b2>4ac　　 B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0　　 D．5a<b. 解析：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于两点，∴b2－4ac>0，即 b2>4ac，A