新疆维吾尔自治区 2022 年普通高考第一次适应性检测 理科数学 （卷面分值：150 分；考试时间：120 分钟） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A   x x  3n  1, n �N ， B   x 2  x  10 ，则集合 A �B 中元素的个数为（ A．2 B．3 C．4 D．5 z 5 2．若复数 z 的共轭复数是 z ，且 z  z  6 ， ，则 z  （ A． 3  4i 3．已知  B． 3  4i ，  ） C． 3 �4i 是平行四边形的两个内角，则“   D． 4 �3i ”是“ sin   sin  ”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，其图象关于原点中心对称的是（  x ） ） x3 y x B． 2  2 x sin x y A． x C． y  2  2 ） x  cos x D． y x 2  2 x x 5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数 1，1，2，3，5，8，…为 边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是 斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一 部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（ ） 2 15 A． 15 15 B． 4 15 C． 15 1 D． 4 6．如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移 动路线由若干次移动构成，如 1→3→4→5→6→7 就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移 动路线条数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数 1, x为有理数 � f  x  � 0, x为无理数 ，称为狄利克雷函数，则关于函数 f  x  ，下列说法正确的是（ � A． f  x 的定义域为 B． f  x 的值域为 C． x �R ，  0,1  0,1 f  f  x   0 D．任意一个非零有理数 T， f  x  T   f  x 对任意 x �R 恒成立 8．如图，若在正六边形内随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ 1 A． 4 1 B． 3 9．已知函数 y  g  x 5 A． 2 ） 2 C． 3 ） 3 D． 4 � � f  x   sin � x  �    0  ，将函数 y  f  x  的图象向右平移  个单位长度后，得到函数 3� � 3 的图象，若 g  x  g  x 7 B． 2 ，则  的最小值为（ C．5 ） 11 D． 2 10．已知 a，b 为正实数，直线 y  x  � 1� 0, � B． � � 2� A．  �, 0  � b� a a2 y  ln �x  � � 2 �相切，则 4  b 的取值范围是（ 2 与曲线 C．  1, � ） D．  0,1 x2 y 2 C : 2  2  1 a  0, b  0  11．若双曲线 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 为 C 的左支上任意一点，直线 l a b 是双曲线的一条渐近线， PQ  l ，垂足为 Q．当 则 C 的方程为（ B． x  y  4 2 12．设 a  e 1.1 的最小值为 6 时， F1Q 的中点在双曲线 C 上， ） A． x  y  2 2 PF2  PQ 2 2 C． x2  y2 1 16  2 7 ， b  1.4  1 ， c  2 ln1.1 ，则（ A． a  b  c B． a  c  b x2 y 2  1 D． 2 4 ） C． b  a  c D． c  a  b 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必一答，第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知 F 为椭圆 C: 3 x2 y 2  1 PF  C 的右焦点，P 为 上的一点，若 2 ，则点 P 的坐标为______． 4 3 r r r r r r a  b  2 a 14．若两个单位向量 a ， b 满足 ，则  b  ______． 15．在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a  1 ， b  2 ， sin B  cos B  2 ，则角 A 的大小为______． 16．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图 所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为______；若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为___ ___．（第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）某学校为了解学生中男生的体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）是否存在较好的线性关 系，搜集了 7 位男生的数据，得到如下表格： 序号 身高 x（cm） 体重 y（kg） 1 2 3 4 5 6 7 166 173 174 178 180 183 185 57 62 59 71 67 75 78 $ $ 根据表中数据计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 y  bx  136.55 $ （1）求 b ； � y  $y  n （2）已知 R2  1  2 i i 1 n � y  y  2 i i 1 ，且当 时，回归方程的拟合效果非常好；当 2 R �0.9 时，回 0.8  R  0.9 2 归方程的拟合效果良好．判断该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好，说明你的理由（ R2 的结果保 留到小数点后两位）． y $ y 参考数据： � 7 i 1 2 i  52.36 18．（12 分）在四棱锥 P  ABCD 中， PA  底面 ABCD，E 为 AC 的中点， PA  AD  2 ， AB  BC  1 ． （1）求证： BE  PC ； （2）若 AB  AD ， BC ∥ AD ，求二面角 E  PD  C 的余弦值． 19．（12 分）已知数列  an  满足 a2  2a1  2 ， an 2  an  9 �4n1 ． （1）求数列  an  的通项公式； 3 bn （2）若正项数列  bn  满足 3bn2  2  5a2 n 1 ，记 Tn  4n 1  6 � 2n  2 ，求数列  Tn  的前 n 项和． 1 f  x   e xa  e2a 2 x f � 20．（12 分）已知实数 a  0 ，设函数 ，  x  是函数 f  x  的导函数． 2 （1）证明： f�  x （2）证明： f  x   ex 存在唯一零点； 21．（12 分）圆心为 ．  4, 0  的圆与抛物线 y 2  2 x 相交于 A，B，C，D 四个点． （1）求圆的半径 r 的取值范围； （2）当四边形 ABCD 面积最大时，求对角线 AC 与 BD 的交点 P 的坐标． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑． [选修 4－4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极 坐标方程为 2  6 2  sin 2  （其中 0 � � ）． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若 M  x, y  为曲线 C 上一点，当 x  y 取得最大值时，求点 M 的坐标． [选修 4－5：不等式选讲] 23．（10 分）已知函数 f  x  a  x  2 x 1 （1）当 a  4 时，求不等式 （2）若区间 f  x  6 ． 的解集；  4, 1 为不等式 f  x  �2 x  1 的解集的子集，求 a 的取值范围． 新疆维吾尔自治区 2022 年普通高考第一次适应性检测 理科数学参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C D B D B A D B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． � 3� 1, � � 13． � � 2�  15． 6 14． 2 3 3 8 16． 2 ， 27  三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）由题中数据可得： x 166  173  174  178  180  183  185  177 ， 7 y 57  62  59  71  67  75  78  67 ， 7 $ $ 177  136.55 ，解得 b  1.15 ． 所以 67  b �  y  y （2）由 � 7 i 1 所以 R2  1  i 2   10   0   8  82  42   5   112  390 2 2 2 ， 52.36 �0.87 ，即 0.8  R 2  0.9 ， 390 所以该线性回归方程的拟合效果是良好的． 18．（1）证明：