2021—2022 学年度下学期 期中考试高一年级数学科试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．复数  1  3i   1  i  的虚部为（ A． 4 B． 4i ） C．2 D．2i B C D ，如图所示，则该平面图形的面 2．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为 1 的正方形 A���� 积是（ ） A．1 B． 2 C．2 D． 2 2 � � � � 3  �� ,  � cos �   �  3．已知 2 �， � � 2 � 5 ，则 sin 2  （ 12 A． 25 12 B． 25 4．已知正三棱柱 ABC  A1 B1C1 A． 48 B． 64  24 C． 25  ） 24 D． 25 所有棱长都为 6，则此三棱柱外接球的表面积为（ C． 84 ） D． 144 5．在 △ ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． a  4 3 ， b  8 ， A  60� B． a  5 ， b  6 ， A  120� C． a  3 ， b  4 ， A  45� D． a  4 ， b  3 ， A  60� 6．公元 263，魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积，其“割圆术”思想为：割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体．某数学兴趣小组，分别计算单位圆内接正 n 边形和外切正 n 边形（各边都和圆相切）的面积，将它们的平均数作为圆的面积，则用此法求得圆面积为（ ） �   1 �  �  � n sin cos  tan � A． � n n� � n n sin cos  tan � B． 2 � n n� � n 2 2 � � 2 n� sin cos  tan � C． � n n n � 1 � 2 2 2 � n� sin cos  tan � D． 2 � n n n � 7．下列命题中正确的个数是（ ① 若 a，b 是两条直线，且 a∥ b ） ，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 ② 若 a，b 是两条异面直线，则过空间一点 A 且与 a 和 b 都平行的平面有且仅有一个 ③ 若 a，b 是两条异面直线，则过空间一点 A 且与 a 和 b 都相交的直线有且仅有一条 ④ 若直线 a，b 和平面 a 满足 A．1 个 a∥ b B．2 个 ， a∥  ， b � C．3 个 ，则 b∥  D．4 个 8．已知 △ ABC 的外接圆圆心 O 满足 CO  mCA  nCB ，其中 m，n 为正数且 4m  n  2 ，若 CA  8 ，则 CA � CB  （ A．4 ） B． 4 3 C．16 D． 16 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，不选或者有选错的得 0 分． � � f  x   2sin � 2x  � 9．关于函数 3 �，下列说法正确的是（ � ） � �  ,0� A．函数 f  x  的图像的一个对称中心是 � � 3 �． � 5 � 0, B．函数 f  x  在区间 � � 12 � �上单调递减； C．直线 x 11 12 是函数 f  x  图像的一条对称轴；  � �  g  x   2sin � 2x  � D．将函数 f  x  的图像沿 x 轴向左平移 4 个单位长度，将得到函数 � 12 �的图像． 10．在 △ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列的结论中正确的是（ A．若 sin A  sin B ，则 A  B ； ） B．若 sin A cos A  sin B cos B ，则 △ ABC 一定是等腰三角形； C．若 △ ABC 是锐角三角形，则 sin A  sin B  sin C  cos A  cos B  cos C ； tan C  1 ． D．若 △ ABC 是钝角三角形，则 tan A � 11．如图， CD， DD1 A．AE 与 ABCD  A1 B1C1 D1 ， CC1 A1G 是底面为矩形的直四棱柱， AD  1 ， 的中点，则下列结论中正确的有（ 异面 B． B1 D  EF AB  AA1  2 ，点 E，F，G 分别为棱 ） C． A1G ∥ 平面 AEF D． B1 D  平面 AEF 12．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点 C，测量出对教学楼 AB 的仰角 �ACB   ，再分别执 行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（ 方案 A：从点 C 向教学楼前进 a 米到达点 D，测量出角 方案 B：在地面上另选点 D，测量出角 方案 C：在地面上另选点 D，测量出角 �ACD   �BDC   ， ， �ADB   �ADC   CD  a ； ， CD  a 米； 米； 方案 D：从过点 C 的直线上（不过点 B）另选点 D、E，测量出 �AEB   ） CD  2 DE  a 米， �ADB   ， ． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案写在答题纸的相应位置． r r r a  1, 2 b   2,   ，且 ar 与 b 的夹角为锐角，则实数  的取值范围是______．   13．已知向量 ， 14．已知复数 z  a  bi  a, b �R  满足 z  1  z  1  8i ，求 z 1 i  z  5  i 的最小值______． 15．中国折扇有着深厚的文化底蕴．如图所示，在半径为 30cm 的半圆 O 中作出两个扇形 OAB 和 OCD，用扇 环形 ABDC 图中阴影部分）制作折扇的扇面，记扇环形 ABDC 的面积为 S1 ，扇形 OAB 的面积为 S2 ，当 S1 5 1  S2 2 时，扇形的形状较为美观，则此时扇形 OCD 的半径为______cm． 16．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个棱长为 2 的正方体内，已知棱锥重合 的底面与正方体的底面平行，八面体的各顶点均在正方体的表面上，则该八面体表面积的取值范围为______． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AB  平面 PAD， （1）求证： BM ∥ 平面 PAD； （2）求证： PA  平面 PCD． 18．（本题满分 12 分） 函数 � � f  x   1  4sin x cos x  2sin � 2x  � 3 �． � （1）求函数 f  x 的最小正周期及对称中心； CD ∥ AB 且 CD  2 AB ， PA  PC ，M 为 PC 中点． （2）已知 △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 △ ABC �A � f � � 1 �2 � ， sin C  2sin B ，且 a  2 ，求 的面积． 19．（本题满分 12 分） 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB  2 ， AD  3 ， （1）若 AE  BF ，求实数  的值： （2）求 BF � FE 的取值范围． BAD   3 ，E 为 CD 中点， AF   AD ，  0 � �1 ． 20．（本题满分 12 分） 在平面直角坐标系 来的     0 xOy 倍得到 �  中，先将线段 OP 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 ，再将旋转后的线段的长度变为原 OP1 ，我们把这个过程称为对点 P 进行一次 T   ,   变换得到点 P1 ，例如对点  1, 0  进 � T ,3 � 行一次 � �2 �变换可以得到点  0,3 ． �2 � T � ,2� （1）若对点 A  1, 0  进行一次 �3 �变换得到点 A1 ，求点 A1 的坐标； �5 2 5� （2）若对点 B � �5 , 5 � �进行一次 T   ,   变换得到点 B  3, 4  ，对点 B 再进行一次 T   ,   变换得到 1 � � 1 点 B2 ，求点 B2 的坐标． 21．（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，点 F 为线段 PC 上的点，过 A，D，F 三点的平面与 PB 交于点 E． （1）证明： EF ∥ 平面 ABCD； （2）若 E 为 PB 中点，且 AB  PA  2 ，求四棱锥 P  AEFD 的体积． 22．（本题满分 12 分）  f x  2sin  x     0,          已知函数 ，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 4 ，将函  f x   数 向左平移 6 个单位得到的图像关于 y 轴对称且 f  0   0 ． （1）求函数 f  x 的解析式： � 11 � x �� 0, 2 （2）若 � 12 � �，方程 f  x    2  a  f  x   a  3  0 存在 4 个不相等的实数根，求实数 a 的取值范 围．