陕西省西安中学高 2022 届高三第一次仿真模拟考试 理科数学试题 （时间：120 分钟 满分：150 分） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 若 p ：所有实数的平方都是正数，则 �p 为（ ） A. 所有实数的平方都不是正数 B. 至少有一个实数的平方不是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 有的实数的平方是正数   N�� I M =�，则 M U N = （ 2. 已知 M,N 为集合Ⅰ 的 非空真子集，且 M,N 不相等，若 A. M B. N C. I D. ） � 3. 某工厂利用随机数表对生产 的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编号 001、002、 …、699、700.从中抽取 70 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向右 读取数据，则得到的第 5 个样本编号是（ ） 3321183429 7864560732 5242064438 1223435677 3578905642 8442125331 3457860736 2530073285 2345788907 2368960804 3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345 A. 607 B. 328 4. 如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 C. 253 1cm D. 007 的正方形，则原图形的周长是（　　） A. B. 8cm 6cm     C. 2 1  3 cm D. 2 1  2 cm 5. 《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初 日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的 路程之和，设计框图如下图. 若输出的 S 的值为 350，则判断框中可填 A. C. i  6? B. i  8? D. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 两圆的公切线的条数是（ C1 ： i  7? i  9? x2  y 2  2 x  6 y  6  0 与圆 C2 ： x2  y 2  4x  2 y  4  0 ，则 ） A. 4 条 B. 3 条 7. 下面是关于公差 d  0 的 p1 : 数列是递增数列；  an  等差数列 C. 2 条 D. 1 条  a  的四个命题 n p2 : 数列是递增数列；  nan  �an � p3 : 数列是递增数列； � � �n p4 : 数列是递增数列；  an  3nd  其中的真命题为 A. p1 , p2 8. 设 B. a �Z ，且 0 �a  13 A. 0 9. 设 p3 , p4 ，若 512022  a C. 能被 13 整除，则 B. 1 z1 , z2 A. 若 p2 , p3 a C. 11 D. （ p1 , p4 ） D. 12 是复数，则下列命题中的假命题是 z1  z2  0 ，则 z1  z2 B. 若 z1  z2 ，则 z1  z2 z1  z2 � z2 C. 若 z1  z2 ，则 z1 � D. 若 z1  z2 ，则 z12  z2 2  1 f ( x)  sin(2 x  ) f ( x)  10. 已知函数 3 ，若方程 3 在 (0,  ) 的解为 x1 , x2 ( x1  x2 ) ，则 sin( x1  x2 )  A.  2 2 3 3 B.  2 C.  1 2 D.  1 3 11. 关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发， 我们也可以通过设计下面的实验来估计  的值：先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对  x, y  ；再统计两数能与1 构成钝角三角形三边的数对  x, y  的个数 a ；最后再根据统计数 a 估计  的值， 那么可以估计  的值约为（ ） a2 B. m 4a A. m a  2m C. m 12. 已知双曲线 C 过点 (3, 2) 且渐近线为 y� 4a  2m D. m 3 x 3 ，则下列结论错误的是（ ） x2  y2  1 A. 曲线 C 的方程为 3 ； B. 左焦点到一条渐近线距离为 1 ； C. 直线 x  2 y  1  0 与曲线 C 有两个公共点； D. 过右焦点截双曲线所得弦长为 2 3 的直线只有三条； 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 设 0    r r r r a  sin 2  ， cos  b   cos  ，1 ，若 a //b ，则 tan   _______．   ，向量 ， 2 14. 已知等比数列 15. 函数 {an } f ( x)  sin 中， a3 a11  4a7 ，数列 {bn } 是等差数列，且 a7  b7 ，则 b5  b9  _______． (2 x  1)  ln x  2 的所有零点之和为_________. 2 16. 平面  过正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 CB D 的顶点 A，  / / 平面 1 1 ，  �平面 ABCD  l ，  �平面 ABB1 A  m ，则 l，m 所成角正切值为____________. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分. 17. 为了测量隧道口 A 、 B 间 D 的 距离，开车从 A 点出发，沿正西方向行驶 点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达 C 点，再从 C 400 2 米到达 D 点，然后从 点出发，沿东南方向行驶 400 米到达隧道口 B 点 处，测得 BD 间的距离为 1000 米. （1）若隧道口 B 在点 D  的北偏东 度的方向上，求 cos  的值； （2）求隧道口 AB 间的距离. 19. 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 x （单位：千万元）对年销售量 y （单位：千万件）的影响，统计了近 10 年投入的年研发费用 散点图如图所示． 2� 10  xi 与年销售量 yi  i  1，， 的数据，得到 (1)利用散点图判断 y  a  bx 和 y  c· x d （其中 c，d 均为大于 0 的常数）哪一个更适合作为年销售量 y 和 年研发费用 x 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由） (2)对数据作出如下处理，令 ui  lnxi , vi  lnyi ，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及 表中数据，求 y 关于 x 的回归方程； 10 10 10   �vi �ui �ui  u vi  v 15 15 28.25 i 1 i 1 i 1  10 � u  u  2 i i 1 56.5 － (3)已知企业年利润 z （单位：千万元）与 x，y 的关系为 z  18e 3 4 9 y x 71828 ），根据第 2 （其中 e �2． (2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用? 附：对于一组数据 v1  ,  u2  u1，，， v2  , �,  un vn  ˆ ，其回归直线 v̂  ˆ   u 的斜率和截距的最小二乘估计 n v   分别为 � u  u   v  v  i 1 i i n � u  u  i 1 i 2 ， â  v   u 20. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB / / DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E 为 AB 的中点，沿 DE 将△ADE 折起，使得点 A 到点 P 位置，且 PE⊥EB，M 为 PB 的中点，N 是 BC 上的动点(与点 B，C 不重合). （1）求证：平面 EMN⊥平面 PBC； 6 （2）是否存在点 N，使得二面角 B﹣EN﹣M 的余弦值 6 ？若存在，确定 N 点位置；若不存在，说明理 由. 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到点 F  1, 0  的距离比到 y 轴的距离大 1． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知点 Q 在直线 k1 ， k2 ， k3 23. 已知函数 ，求 x  1 k1 � k2 � k3 f  x FP  FQ ，记直线 OP，OQ，PQ 的斜率分别为 的最小值． f  x   a ln x  （1）讨论函数 上，点 P 在第一象限，满足 1  x  0 ． x 的单调性； f  x1   f  x2  （2）若存在 x1 ， x2 满足 0  x1  x2 ，且 x1 +x2  1 ， ，求实数 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的 第一题计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 r a   1,1 ，且过定点 A  1, 0  ． P  1  cos  ,sin   ，参数  � 0,π  ，直线 l 的方向向量为 （1）在平面直角坐标系 xOy 中求点 （2）若直线 l 上有一点 Q ，求 PQ P 的轨迹方程； 的最小值． [选修 4-5：不等式选讲] 26. 设函数 f  x   x  3  x  1 , x �R ，