人教 A 版 2019 高中数学必修第二 册 第十章 概率 10.1.3 型 古典概 1 知识回顾 1. 事件的关系和运算有哪些？ 事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A 发生导致 B 发生 A⊆B 或 B⊇A 并事件 ( 和事件 ) A 与 B 至少一个发生 A∪B 或 A ＋ B 交事件 ( 积事件 ) A 与 B 同时发生 A∩B 或 AB 互斥 ( 互不相容 ) A 与 B 不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A 与 B 有且只有一个发生 A∩B=Ø ， A∪B=Ω 1 知识回顾 2. 互斥事件与对立事件联系与区别是什么？ (1) 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个 要发生的互斥事件 . 因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对 立事件 . (2) 对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件 而言的 . 2 事件的概率 思考 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性 大小 . 对随机事件发生可能性大小的度量 ( 数值 ) 称为事件的 概率 (probability) ，事件 A 的概率用 P(A) 表示 . 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的 概率估计 . 但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似 值 . 能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概 率呢 ? 2 事件的概率 　 思考：我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚硬币的试验及掷一 枚质地均匀骰子的试验，它们有哪些共同特征？    　　发现它们有以下共同特征： 　　 1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个； 　　 2. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。 3 古典概型 古典概型定义 具有以上两个特征： 1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个； 2. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。 我们将该试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称 古典概型。 3 古典概型 例 1 ： (1) 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意 . 点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？ 有限性 等可能性 (2) 某同学随机向一靶心进行射击，这一试验的结果有命中 10 环、 9 环 、 8 环、 7 环、 6 环、 5 环和不中环，这是古典概型吗？为什么？ 有限性 等可能性 5678910 98765 3 古典概型 例 2 ：下列试验是古典概型的是 ________ ．①从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛， ①②④ 每人被选中可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率；③近三天中有一 天降雨的概率；④ 10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． 例 3 ：下列试验是否为古典概型？ (1) 种下一粒花生，观察它是否发芽 否 (2) 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率 是 (3) 在区间 [0 ， 5] 内任取一点，求此点小于 2 的概率 否 (4) 从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 是 (5) 抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 否 3 古典概型 思考：（ 1 ） 一个班级中有 18 名男生、 22 名女生 . 采用抽签的方式，从中随机 选择一名学生，事件 A=“ 抽到男生”。 (1) 该试验是否为古典概型？是 (2) 如何度量事件 A 发生的可能性大小 ? 抽到男生的可能性的大小，取决于男生数在班级学生数中所占比例的大小，因此， 可以用男生数与班级学生数的比值来度量。 思考： (2) 抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，事件 B= “ 恰好一次正面朝上” . (1) 该试验是否为古典概型？ 是 (2) 如何度量事件 B 发生的可能性大小 ? 事件 B 发生的可能性的大小可以用事件 B 包含的样本点数与样本空间包含的样本点 数的比值来度量。 能否总结出求古典概型的概率的方法呢？ 3 古典概型 古典概型概率公式 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本 点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率为 k n(A) p(A)   n n(Ω) 其中， n(A) 和 n(Ω) 分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样 本点个数 . 3 古典概型 3 古典概型 典例 1 题型一 古典概型的判断 3 古典概型 例 2. 下列是古典概型的是 ( 　　 ) C A ．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时 　 B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将去除的正整 数作为基本事件时 C ．从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 [ 解析 ] 　 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是； B 项中的基本事件是无限的，故 B 不是； C 项满足古典概型的有限性和等可 能性，故 C 是； D 项中基本事件可能会无限个，故 D 不是 . 3 古典概型 3 古典概型 题型二 古典概型的概率计算 例 1. 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 . (1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能 的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率； (2) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果， 并求选出的 2 名教师来自同一所学校的概率 . 3 古典概型 [ 解析 ] 　 (1) 甲校 2 名男教师分别用 A ， B 表示， 1 名女教师用 C 表示；乙校 1 名男教师用 D 表示， 2 名女教师分别用 E ， F 表示 . 从 甲 校 和 乙 校 报 名 的 教 师 中 各 任 选 1 名 的 所 有 可 能 的 结 果 为 ： (A ， D) ， (A ， E) ， (A ， F) ， (B ， D) ， (B ， E) ， (B ， F) ， (C ， D) ， (C ， E) ， (C ， F) ，共 9 种 . 3 古典概型 变式训练：某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1 ， A2 ， A3 和 3 个欧 洲国家 B1 ， B2 ， B3 中选择 2 个国家去旅游 . (1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但 不包括 B1 的概率 . [ 解析 ] 　 (1) 由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的 样 本 点 有 ： {(A1 ， A2) ， (A1 ， A3) ， (A1 ， B1) ， (A1 ， B2) ， (A1 ， B3) ， (A2 ， A3) ， (A2 ， B1) ， (A2 ， B2) ， (A2 ， B3) ， (A3 ， B1) ， (A3 ， B2) ， (A3 ， B3) ， (B1 ， B2) ， (B1 ， B3) ， (B2 ， B3)} ，共 15 个 . 3 古典概型 3 古典概型 题型三 较复杂的古典概型的概率计算 例 1. 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动 . 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待 转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数 . 设两次记录的数 分别为 x ， y. 奖励规则如下： ① 若 xy≤3 ，则奖励玩具一个； ② 若 xy≥8 ，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶 . 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀 . 小亮准备参加此项活动 . (1) 求小亮获得玩具的概率； (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 . 3 古典概型