三角函数期末复习 一、角的有关概念 1．定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类 （1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角． （3）终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S  { |     k·360� , k �Z} ． 3．象限角与轴线角 � �  2π2π, k   k  第一象限角的集合为 � π � k �Z �； 2 π 2 � � � k �Z �；  2π2ππ, k    k  第二象限角的集合为 � � �  2ππ2π, k    k  第三象限角的集合为 � 3π � k �Z �； 2 3π 2 � � � k �Z �  2π2π2π, k     .k  第四象限角的集合为 �  k 终边与 x 轴非负半轴重合的角的集合为    2π, k �Z ；  k �Z ； k  终边与 x 轴非正半轴重合的角的集合为    2ππ,   终边与 x 轴重合的角的集合为    kπ, k �Z ； 终边与 终边与 终边与 � � π � k �Z �； 2 � � π � k �Z �； 2 y    2π, k  轴非负半轴重合的角的集合为 � y    2π, k  轴非正半轴重合的角的集合为 � y    kπ, 轴重合的角的集合为 � � � � �  终边与坐标轴重合的角的集合为 � π � k �Z �； 2 kπ � , k �Z �． 2 1、下列各角中，与﹣30°终边相同的角为（　　） A．210° B．﹣390° C．390° D．30° C．第三象限 D．第四象限 2、475°角的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 3、（多选）如果 2θ 是第四象限角，那么 θ 可能是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 C．142° D．222° 4、（多选）与 2022°终边相同的角是（　　） A．﹣222° B．﹣142° 二、弧度制 1．1 弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． 规定：   l , l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧  r r 度数为负数，零角 的弧度数为零． 2．弧度制 用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值 l 与所取的 的大小无关，仅与角的大小有关． r r 3．弧度与角度的换算 180πrad � , 1rad = 180π� � 57.3 �� , 1 � = � rad � � �π180 � ． 4．弧长公式 l   r ，其中  的单位是弧度， l 与 r 的单位要统一. 角度制下的弧长公式为： l  nπr （其中 为扇形圆心角的角度数）. n 180 5．扇形的面积公式 1 1 S  lr   r 2 . 2 2 角度制下的扇形面积公式为： S  nπr 2 （其中 为扇形圆心角的角度数）. n 360 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为（　　） 1、已知某扇形的面积为 A．3 B． 2、集合 M＝{x|x＝ + ，k∈Z}，N＝{x|x＝ A．M⊆N B．N⊆M C．9 D． ，k∈Z}，则（　　） C．M∩N＝∅ D．M∪N＝R 3、达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者 对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 A，B 处 作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点 C，测得 AB＝12.6cm，∠ACB＝ ，则《蒙娜丽莎》中女子嘴 唇的长度约为（　　）（单位：cm） A．12.6 B．4π C．4.2π D．4.3π 三、任意角的三角函数 1．定义 设  是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，点 P  x , y  是角  的终边上任 意一点， P 到原点的距离 OP  r  r  0  ，那么角  的正弦、余弦、正切分别是 sin   y x y , cos   , tan   ． r r x 注意：正切函数 tan   π � � y   �kπ, k �Z �，正弦函数和余弦函数的定义域都是 . 的定义域是 � 2 � x R 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．特殊角的三角函数值 0� 30� 45� 60�  90� 120� 135� 150� 180� 270� 360� 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π sin  0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos  1 3 2 2 2 1 2 0 tan  0 3 3 1 补充： sin15� cos 75� 3  1 2  不存在  3 2 2 1  3 2 1 0 1  3 3 0 不存在 0 6 2 6 2 , sin 75� cos15� , 4 4 tan15� 2  3 , tan 75� 2  3 . 1、已知角 α 的终边经过点 P（3，4），则 5sinα+10cosα 的值为（　　） A．11 B．10 C．12 D．13 2、若角 α 顶点在原点，始边在 x 轴正半轴上，终边一点 P 的坐标为 ，则角 α 为（ ）角． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、若角 α 的终边在直线 y＝﹣2x 上，则 sinα 的可能取值为（　　） A． B． C． D． 4、（多选）已知角 α 的终边经过点 P（sin120°，tan120°），则（　　） A．cosα= B． sinα= C．tanα＝﹣2 D．sinα+ cosα= 四、同角三角函数的基本关系式 sin 2   cos2   1 ． sin   tan ． 2．商的关系 cos  1．平方关系 3．同角三角函数基本关系式的变形 2 2 2 2 （1）平方关系的变形： sin   1  cos  , cos   1  sin  ； cos  , cos   （2）商的关系的变形： sin   tan  � （3） sin  ； tan  1 1 1  tan 2   1 , 2   1． 2 cos  sin  tan 2  1、已知 sinα＝ ，α∈（ ，π），则 tanα＝ 。 2、已知 sinα+cosα＝ ，α∈（ ，π），则 sinα-cosα＝ 3、已知 tanα＝﹣1，则 2sin2α﹣3cos2α＝（　　） A． B． 。 C． D． 4、（多选）若角 α 为钝角，且 sinα+cosα＝﹣ ，则下列选项中正确的有（　　） A．sinα= B．cosα= C．tanα= D．sinαcosα= 5、若 sinθ、cosθ 是关于 x 的方程 x2﹣ax+a＝0 的两个根，则实数 a 的值为　 　． 五、三角函数的诱导公式 公式 角 一 2kπ+α （k∈Z） 二 三 四 五 六 π+α −α π−α  −α 2  +α 2 正弦 sin α −sinα −sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α −cosα cosα −cosα sinα −sinα 正切 tan α tanα −tanα −tanα 口诀 函数名不变， 函数名改变， 符号看象限 符号看象限 ，求 f 1．（1）已知 f（α） （2）已知 cos（75°+α） 的值； ，求 sin（α﹣15°）+cos（105°﹣α）的值． 2、已知函数 f（x）＝ （1）求 的值； （2）求 2sin2α﹣sinαcosα﹣cos2α 的值． ，且 f（α）= ． ． 3．已知 f（a） （1）化简 f（α）； （2）若 f（α） （3）若 α＝ ，且 ＜α ，求 cosα﹣sinα 的值； ，求 f（α）的值． 4．已知 f（a） （1）化简 f（α）； （2）若 f（α） +cos(2π-α)． ，求 的值． 五、正余弦函数的性质： y  cos x y  sin x 函数名 图像 定义域 值域 奇偶性 对称轴 对称中心 最值位置 最大值： 最小值： 最大值： 最小值： 周期性 增区间 减区间 函数 y＝tan x 的图象与性质见下表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 _____________________________ 1．下列函数中，同时满足：①在 A．y＝tanx 上是增函数；②为奇函数；③周期为 π 的函数有（　　） B．y＝cosx C．y＝ta D．y＝sin2x 2．已知函数 y＝2sinx 的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则 b﹣a 的值不可能是（　　） A B C D （cosx+|cosx|），则下列说法正确的是（　　） 3．（多选）已知函数 f（x） A．f（x）的最小正周期为 2π B．f（x）为偶函数 C．f（x）的值域为[ ，1] D．f[f（x）]＞ 恒成立 4．已知函数 f(x)=sin( -2x)．求： （1）函数 f(x)的单调递减区间，对称轴，对称中心； （2）当 x∈[ ， 5．已知函数 f(x)=2sin(ωx ]时，函数的值域． )（x∈R，ω＞0）的最小正周期为 π． （1）求 ω 的值和 f（x）的单调递增区间； （2）令函数 g(x)=f(x )，求 g（x）在区间 上的值域． 课堂检测 一．选择题（共 8 小题） 1．给出下列 3 个结论，其中正确的个数是（　　） 是第二象限角；③-15° ①196°是第三象限角；② A．3 B．2 C．1 D．0 的扇形面