2022 年河南省郑州市中考数学二模试卷 一、选择题 1. −2 的相反数是 () 3 A. −3 2 B. 3 2 C. −2 3 D. 2 3 2. 据河南省统计局发布的信息，2021 年我省对外贸易取得新突破，全年全省进出口总值 8208.1 亿元， 创河南省进出口规模历史新高，数据“ 8208.1 亿”用科学记数法表示为 () A. 0.82081× 1012 B. 82081× 107 C. 8.2081× 1011 D. 8.2081× 105 3. 下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是 () A. 正方体 B. C. 圆锥 D. 圆柱 球 4. 如图，在 △ ABC 中 AC =BC ，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD =AE . 连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若 ∠C=40 ∘ ， 则 ∠ GAD 的度数为 () A. 40 ∘ B. 45 ∘ C. 55 ∘ D. 70 ∘ 5. 下列各式计算正确的是 () A. 2 a2 +3 a2=5 a 4 3 3 B. −2 ab ¿ =−6 a b ¿ C. (3 a+b)(3 a−b)=9 a2−b2 D. a3 ⋅(−2 a)=−2 a3 6. 关于 x 的一元二次方程 x 2+(2−k) x−k =0 的根的情况是 () A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 现有四张分别标有数字 −3 ， −1 ，0，2 的卡片，它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀， 然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是非负数的概率为 () A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 5 12 8. 为了解新冠肺炎疫情防控期间，学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测 试”，其中抽查的 10 名学生的成绩如图所示，对于这 10 名学生的测试成绩，下列说法正确 () A. 中位数是 95 分 B. 众数是 90 分 C. 平均数是 95 分 D. 方差是 15 9. 如图，在▱OABC 中，边 OC 在 x 轴上，点 A (1, ❑√ 3) ，点 C(3,0). 按以下步骤作图：分别以点 B，C 为圆心，大于 1 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 E，F 两点；作直线 EF，交 AB 于点 H；连接 OH，则 OH 的长 2 为 () A. ❑ √5 B. ❑ √7 C. 2 ❑√ 2 D. 2 ❑√ 3 10. 如图 1，点 A 是 ⊙ O 上一定点，圆上一点 P 从圆上一定点 B 出发，沿逆时针方向运动到点 A，运动时 间是 x (s) ，线段 AP 的长度是 y (cm). 图 2 是 y 随 x 变化的关系图象，则点 P 的运动速度 是 () A. 1 cm/s B. ❑ π cm/s 2 D. 3π cm/s 2 C. √ 2cm / s 二、填空题 1 −1 ❑ ¿ −¿ √ 3−2∨¿ ______. 11. 计算： 2 ¿ 12. 如图所示，点 C 位于点 A、B 之间 ¿ ¿ 不与 A、B 重合 ¿ ，点 C 表示 1−2 x ，则 x 的取值范围是______. 13. 如图，在 △ A BC 中，O 为 BC 边上的一点，以 O 为 圆心的半圆分别与 AB，AC 相切于点 M， N . 已知 ⏜ ∠BAC =120 ∘ ， AB+ AC =16 ， MN 的 长为 π ，则图中阴影部分的面积为______. 14. 如图，矩形 ABCD 和矩形 CEFG， AB=1 ， BC =CG=2 ， CE=4 ，点 P 在边 GF 上，点 Q 在边 CE 上，且 PF=CQ ，连接 AC 和 PQ，M，N 分别是 AC，PQ 的中点， 则 MN 的长为______. 15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ∠BCD=45∘ ， A B=BD=6 ，E 为 AD 上一动点，连接 BE， 将 △ ABE 沿 BE 折叠得到 △ FBE ，当点 F 落在平行四边形的对 角线上时，OF 的长为______. 三、解答题 2 16. 如果 m 2−4 m−6=0 ，求代数式 ( m −m−4 m+ 1 +1) ÷ 2 的值． m+3 m −9 17. 为了解某市八年级数学期末考试情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整.收集数据 随机抽取甲乙两所学校的各 20 名学生的数学成绩进行分析 ¿ ¿ 满分为 100 分 ¿ ： 甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88 整理、描述数据，按如表数据段整理、描述这两组数据，分析数据 分段 30 ≤ x ≤39 40 ≤ x ≤ 49 50 ≤ x ≤59 60 ≤ x ≤69 70 ≤ x ≤79 80 ≤ x ≤ 89 90 ≤ x ≤100 学校 甲 1 1 0 0 3 7 8 乙 0 0 1 4 2 8 5 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲 81.85 a b 乙 c 86 88 268.43 115.25 学校 经统计，表格中 a=¿ ______ ； b=¿ ______ ； c=¿ ______ ； 得出结论 (1) 若甲学校有 600 名八年级学生，估计这次考试成绩 80 分以上人数为______ ； ¿ (2) 可以推断出______ 学校学生的数学水平较高，理由为：______ . ¿ 至少从两个不同的角度说 明推断的合理性 ¿ k x 18. 如图 1，点 A、B 是双曲线 y= ( k >0) 上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段 AC、AD、BE、BF，AC 和 BF 交于点 G，得到正方形 ¿ S =1 ， OCGF ¿ 阴影部分 ¿ ，且 阴影 △ AGB 的面积为 2. (1) 求双曲线的解析式； (2) 在双曲线上移动点 A 和点 B，上述作图不变，得到矩形 ¿ OCGF ¿ 阴影部分 ¿ ，点 A、B 在运动过程中始终保持 S 阴影 =1 不变 ¿ ¿ 如图 2 ¿ ，则 △ AGB 的面积是否会改变？说 明理由． 19. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，小明与同学们在山坡的坡脚 A 处 测得广告牌底部 D 的仰角为 53 ∘ ，沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶 部 C 的仰角为 45 ∘ ，已知山坡 AB 的坡度 i=1 ： ❑ √3 ， AB=10 米， AE =21 米． ¿ ¿ 测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米， 参考数据： ❑ √ 2≈ 1.41 ， ❑ √ 3≈ 1.73 ， sin 53∘ ≈ 4 3 4 ， cos 53 ∘≈ ， tan 53 ∘≈ ¿ 5 5 3 (1) 求点 B 距水平地面 AE 的高度； (2) 求广告牌 CD 的高度． ¿¿ 结果精确到 0.1 米 ¿ 20. 阅读下面村料，并按要求完成相应的任务： 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家.在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下： 命题：设 AB 是一个半圆的直径，并且过点 B 的切线与过该半圆上的任意一点 D 的切线交于点 T，如 果作 DE 垂直 AB 于点 E，且与 AT 交于点 F，则 DF=EF . 证明：如图①，延长 AD 与 BT 交于点 H，连接 OD， OT . ∵ DT ，BT 与 ⊙ O 相切 ∴ ……，① ∴ BT=D T ∵ AB 是半 ⊙O 的直径， ∠ ADB=90 ∘ ，② 在 △ BDH 中， BT =DT ，得到 ∠ TDB=∠TBD ， 可得 ∠ H=∠TDH ， ∴ BT=D T =HT . 又 ∵ DE/ ¿ BH ， ∴ DF AF EF AF = = ， HT AT BT AT ∴ EF DF = BT HT 又 ∵ BT=HT ， ∴ DF =EF . 任务： (1) 请将①部分证明补充完整； (2) 证明过程中②的证明依据是______ ； (3) 如图②， △ BED 是等边三角形，BE 是 ⊙O 的切线，切点是 B，D 在 ⊙ O 上， CD ⊥ AB ，垂足为 C，连接 AE，交 CD 于点 F，若 ⊙O 的半径为 2，求 CE 的长. 21. 某校为改善教师的办公环境，计划购进 A，B 两种办公椅共 100 把.经市场调查：购买 A 种办公椅 2 把， B 种办公椅 5 把，共需 600 元；购买 A 种办公椅 3 把，B 种办公椅 1 把，共需 380 元. 1 )求 A 种，B 种办公椅每把各多少元？ ¿ (2) 因实际需要，购买 A 种办公椅的数量不少于 B 种办公椅数量的 3 倍.学校与中标公司签订的合同 中规定：在市场价格不变的情况下 ¿ ¿ 不考虑其它因素 ¿ ，实际付款总金额按市场价九折优惠. 请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x 2 +( a−1) x−2 a ，其中 a 为常数，点 A (−4,2 a−4 ) 在此抛物线上． (1) 求此时抛物线的解析式及点 A 的坐标； (2) 设点 M (x , y ) 为抛物线上一点，当 −3 ≤ x ≤ 2 时，求纵坐标 y 的最大值与最小值的差； (3) 已知点 P(−2,−3) ， Q(2,−3) 为平面直角坐标系内两点，连接 PQ . 若抛物线向上平 移 c 个单位 (c >0) 的过程中，与线段 PQ 恰好只有一个公共点，请直接写出 c 的取值范围． 23. 在 △ ABC 中， AB =AC =2 ， ∠ BAC =90 ∘ ，将边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB ' ，记旋 转角为 α . 分别过 A，C 作直线 BB ' 的垂线，垂足分别是 E，F，连接 B ' C 交直线 AF 于点 Q. (1) 如图 1，当 α =45 ∘ 时， △ AEF 的形状为______； (2) 当 0 ∘< α <360 ∘ 时， ① (1) 中的结论是否成立？如果成立，请就图 2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②