双流中学 2022 届高三阶段性检测（一） 数 学（理科） 说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟. 2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答. 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的） 1. 设集合 M ={ x∨− 2< x<2 } ， N= { x∨1< x ≤3 } ，则 M ∪ N =¿ A. { x∨−2 ≤ x <1 } B. { x∨−2<x ≤3 } C. { x∨2< x ≤ 3 } D. { x∨x< 2 } 2. 复数 ( 1+i ) z=i ( i 为虚数单位) ，则 z 的共轭复数 z=¿ A. 1 1 − i 2 2 B. 1 1 − + i 2 2 1 1 + i 2 2 C. D. 1 1 − − i 2 2 3. 下列命题正确的是 A. ∃ x 0 ∈ R ， x 20+ 2 x 0 +3=0 C. x> 1 是 x 2>1 的充分不必要条件 B. ∀ x ∈ N ， x 3> x 2 2 2 D. 若 a> b ，则 a >b OB −⃗ OA ) ⋅ ⃗ OB=¿ 4. 设 O 为坐标原点， A (2 , 0) 、 B (3 ,1) ，则 (⃗ A. −4 B. 4 C. −6 D. 6 5. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如下图所 示，则该几何体的俯视图为 A. B. C. D. 6. 在区间 ( 0 , 1 ) 上任取两个数，则两个数之和小于 A. 12 25 18 25 B. C. 16 25 6 5 的概率是 D. 17 25 7. 设 log a 2<log b 2<0 ，则 A. 0< a<b<1 C. a> b>1 B. D. 0<b <a<1 b> a>1 8. 函数 f ( x )= A sin ( ωx+ ϕ ) ，（其中 A >0 ， ω> 0 ， |ϕ|< π 2 ） 其图象如右 图所示，为了得到 g ( x ) =− A cos ωx 的图象，可以将 f ( x ) 的图象 A. 向右平移 π 12 个单位长度 B. 向右平移 5π 12 个单位长度 C. 向左平移 π 12 个单位长度 D. 向左平移 5π 12 个单位长 度 9. 如图所示的程序框图，若输出的结果为 4，则输入的实数 x 的 取值范围是 A. ¿ C. ¿ B. D. ¿ ¿ 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五 尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？ 各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已 知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的 2 倍，小鼠每天打 的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？ 设两鼠 x 天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的），则 x=¿ 2 A. 1 18 B. 2 1 17 2 C. 2 17 D. 2 1 9 11. 如图所示，边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A ， D 分别在边长为 2 的正方 ' ' ' 形 A BC D ' ' ' 和 A D 1+ √ 2 C. 的边 A B ' ' 上移动，则 ' ' ⃗ A B ⋅⃗ A C 的最大值 是 A. 4 B. π D. 2 3 12. 已知函数 f ( x )=x −3 x+1 ， x ∈ R ，集合 A= { x ∨t ≤ x ≤t +1 } ，集合 B={ x∨|f ( x )|≥1 } ，若集合 A ∩B 只含有一个元素，则实数 t 的取值范围是 A. ¿ B. [0 , √ 3 −1] C. ¿ D. (0 , √ 3 − 1) 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签 字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答, 作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答 在试题卷上无效. 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. ( 1+2 x )5 的展开式中 x 3 项的系数为 14. 设等比数列 为 . 满足： a1 +a 3=10 ， a2 +a 4=5 ，则 a1 a2 ⋯ an 的最大值 {a n } 。 ( 15. 已知 α 为锐角，且 sin α − π 1 = cos α =¿ 3 5 ，则 ) . 2 16. 若曲线 y=ln x 与曲线 y=x +2 x +a (x< 0) 有公切线，则 a 的取 值范围是 . 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.） 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 （Ⅰ）求数列 {a n } {a n } 满足： a1=2 ，且 a1 ， a2 ， a5 成等比数列． 的通项公式． （Ⅱ）记 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S n >60 n+800 ？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由． 18.（本小题满分 12 分） 如图所示， Δ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且满足 √3 cos C = c sin B b ． （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）点 D 为边 AC 的中点， BD=2 ，求 Δ ABC 面积的最大值． 19. （本小题满分 12 分） 随着华为 mate 20 手机的 上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学 生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最 近 100 位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示. 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 0.15，并且销售一部 mate 20 手机，若果顾客分 1 期付款， 商家利润为 1000 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润 为 2000 元，以频率作为概率. （Ⅰ）求 a ， b 的值，并求事件 A ：“购买 mate 20 手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”的概率； （Ⅱ）用 X 表示销售一部 mate 20 手机的利润，求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 20.（本小题满分 12 分） 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 2 √ 2 ， AC ∩ BD=O ，分别以 AB ， BC 为一边在空间中作等边 Δ PAB 与等边 Δ PBC ，延长 CD 到点 E ，使 CE=2 CD ，连接 AE ， PE . （Ⅰ）证明： AE ⊥ 平面 PAC ； （Ⅱ）若点 F 是线段 BD 上一动点，记 PF 与平面 PAE 所成的角为 θ ，求 sin θ 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x )=a ln x + ( 1x − 2) ( a+1 ) ， a∈R . （Ⅰ）试求函数 f ( x ) 的单调区间； x （Ⅱ）若不等式 f ( x ) ≥ a ( ln x −e ) 对任意的 x ∈ ( 0 ,+∞ ) 恒成立，求实数 a 的取 值范围. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，共 10 分，如果多作，则按所作的第一题计分 . 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 { x=1+cos ϕ| （ ϕ 为参数）， 以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程； ( π3 )=3 √ 3 （Ⅱ）直线 l 的极坐标方程是 2 ρsin θ+ ，射线 OM ： θ= π 3 与圆 C 的交点为 O , P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长. 23.（本小题满分 10 分） 选修 4－5：不等式选讲 设函数 f ( x )=|x +1|+| x −5| ， x ∈ R ． （Ⅰ） 求不等式 f ( x ) ≤ x +10 的解集； 2 （Ⅱ）如果关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ a − ( x −2 ) 在 R 上恒成立，求实数 a 的取 值范围． 参考答案（理科） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B C D B B A C D D 一、选择题 二、填空题 13. 80 14. 64 2 6 3 1 (ln ,+ ∞) 15. 16. 10 2e 三、简答题 17.【解析】 （Ⅰ）设数列 {a n } 的公差为 d ， 2 依题意知，2， 2+d ， 2+4 d 成等比数列，故有 ( 2+d ) =2 ( 2+4 d ) ，---------------2 分 2 化简得 d − 4 d=0 ，解得 d=0 或 d=4 ．------------------------------------------------------4 分 当 d=0 时， an =2 ； 当 d=4 时， an =2+ ( n −1 ) 4=4 n −2 ， 从而得数列 {a n } 的通项公式为 an =2 或 an =2+ ( n −1 ) 4=4 n −2 ．--------------------------6 分 （Ⅱ）当 an =2 时， S n=2 n ，显然 2 n<60 n+800 ， 此时不存在正整数 n ，使得 S n >60 n+800 成立．-------------------------------------8 分 n(2+( 4 n −2)) 2 当 an =4 n− 2 时， S n=¿ 2 2 ¿2n ． 2 令 2 n > 60 n+800 ，即 n −30 n − 400> 0 ， 解得 n> 40 或 n<−10 (舍去)，----