重庆育才中学高 2021 届高三 12 月月考 数学试题 本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 ( x , y )| ¿ 2 y-x = 7 x + y =2 { ¿ ¿ { } A =¿ ¿ 1.若用列举法表示集合 A. {x=−1, y=3} 2.已知等比数列 A.16 {an } C1 C1 ： 2 C. 的各项均为正数，且 {3,-1} D. {-1,3} log 2 a1 +log2 a2 +⋯+log2 a7 =7 C.8 ，则 a2 a6 +a3 a 5= ( ) D.4 2 x y − =1(a>0, b>0 ) 2 2 的焦距为 6，且其渐近线与圆 C2 ：( x−3 ) + y =1 相切，则双曲 a2 b 2 的方程为( ) 2 2 2 x y − =1 A. 32 4 4.函数 2 x y − =1 B. 9 8 x x f (x )=x 3 cos +sin 4 2 A. 在 2 2 √5 B.4 2 x y − =1 C. 8 9 [−2π ,2π ] C. M,N C. 分别是 √ 10 2 x − y 2=1 D. 8 上的图象大致为( ) B. 5.在正方形 ABCD 中， A. {(-1,3)} B.14 3.双曲线 线 B. ，则下列表示正确的是( ) BC ,CD D. 的中点，若 AB=2 ，则 |⃗ AM +⃗ BN|= ( ) D.2 6.马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独 p 特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对 2  1 作了大量的计算、验证工作，人们为纪念 p 梅森在数论方面的这一贡献，将形如 2  1 (其中 p 是素数)的素数，称为梅森素数．在不超过 50 的素数中， 随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是( ) 9 A. 35 7.已知 A. 13 B. 35 7 C. 20 2 x ，则 f (x ) 的单调增区间为( ) f (x −2)=ln x − (−2,+∞) B. 9 D. 20 (−2,0) C. (0,+∞) 8.定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于 D. (0,2) 180� 的四边形．已知在平面凸四边形 ABCD 中， �A  30�， �B  135�， AB  3 ， AD  2 ，设 CD  t ，则 t 的取值范围是( ) A. � 1, 3  3� � �2 � C. � ,1� � �2 � �2 � B. � , 3  3 � � �2 � � �2 � �2 � D. � , 3  1� � 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.下列命题中正确的有( ) A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.垂直于同一直线的两条直线相互平行 C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D.对于直线 m 和两平面 α，β ，若 m⊥α ， m⊂β ，则 α ⊥β 10.给出下列命题，其中正确命题为( ) A.在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是 分层抽样 B.随机变量 X 服从正态分布 C. E  2 X  1  2 E  X   1 ， N  1,  2  ， P  X  1.5   0.34 ，则 P  0.5 �X �1.5   0.32 D  2 X  1  4 D  X   1 D.“A 与 B 是互斥事件”是“A 与 B 互为对立事件”的必要不充分条件 11.已知函数 f  x A.当 x  0 时， 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f  x   e x  x  2  B.函数 f  x f  x   ex  x  2 ．则下列结论正确的是( ) 有四个零点 f  x  m f  3 �m �f  3 C.若关于 x 的方程 有解，则实数 m 的取值范围是 D.对 x1 , x2 �R ， f  x2   f  x1   4 恒成立 1 a  1 a 12.已知数列  n  中， 2 ，且 an 1  an  an  1 ， n �N  ，则以下结论正确的是( ) 1 1 1   A. an 1 an an  1 B.  an  是单调递增数列 1 1 1 1  L   a10  1 a1 C. a1  1 a2  1 � a1 a � a  2  L  n � 120 � D.若 a  1 a  1 ( ，则 表示不超过 的最大整数) an  1 � 2 �1 x n  122  x  第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 6 13.复数 z=2 i +i 3 的共轭复数 z 在复平面上对应的点在第 象限.（用汉字一、二、三、四填写） 14.某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积是 俯视图 15.已知点 M 是抛物线 y 2  8x x 2  y 2  8 x  2 y  16  0 . 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C： 上一动点，则 | MA |  | MF | 的最小值为 . � � 4 f � � 2 （ f ） f x  2sin  x     0    满足 �4 � ， 3  0 ，且 16. 已知函数   � 2 , f  x  在区间 � �4 3 � �上单调，则 的最大值为 �  . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.( 10 分)随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近 9 年来的纸质广告收入如 下表所示： 根据这 9 年的数据，对 t 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.243； 根据后 5 年的数据，对 t 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.984. (1)如果要用线性回归方程预测该杂志社 2021 年的纸质广告收入，现在有两个方案， 方案一：选取这 9 年数据进行预测，方案二：选取后 5 年数据进行预测． 从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？ (2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中， 只购买电子书的读者比例为 50% ，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为 10% ，现用此统计结果作 为概率． (i)若从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，求只购买纸质版本的概率； (ii)若从上述读者中随机调查 3 位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率． 18.( 12 分)记数列 (1)证明：数列 (2)设 俯视图 {a n } {b n } 的前 n 项和为 Sn a1 =1 ， S n+1=4 an +1 的前 n 项和，求 T8 ． ，已知 ．设 bn=a n+1 −2an ． 为等比数列； c n =|bn −100| ， Tn 为数列 {c n } 19.( 12 分)△ABC 中的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 4 b= √5a, A=2B . (1)求 cos A ； (2)若 b=5 ，点 D 为边 AB 上一点，且 AD =7 ，求 Δ BCD 的面积. 20.( 12 分 ) 在 四 棱 锥 ABCD 为 直 P− ABCD 中 ， 平 面 角 1 BC=CD= AD=2 2 梯 形 ， PAD ⊥ ¿ ¿ BC // AD 平 面 ABCD ， 底 面 ， ∠ ADC =90 ° ， ， E 为 线 段 AD 的 中 点 ， 过 BE 的 平 面 与 线 段 PD ， PC 分别交于点 G ， F ( G ， F 不与端点重合). (1)求证： GF ⊥ PA ； (2)若 PA=PD=2 √ 2 ， CF =λ CP ， 是否存在点 F ， 使得二面角 A−BF−C 所成角的余弦值为 6 −√ 3 ，若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由. x2 y 2   1 a  b  0  21.( 12 分)已知 F 是椭圆 E ： a 2 b 2 的左焦点，经过原点 O 的直线 l 与椭圆 E 交于 P ， Q 两点，若 | PF | 2 | QF | ，且 cos �PFQ   11 16 ． (1)求椭圆 E 的离心率； (2)已知经过点 �4 定点 � �3 C (3, 0) 的直线与椭圆 E 交于 BD 两点，作 B 关于 x 轴的对称点 A ，若直线 AD 恒过 � ,0� �，求椭圆 E 的方程． 22.( 12 分)已知函数 f ( x )  e  e x y  2x 1 f � (0) (1)求实数 a,b (2)若不等式 x  (2  b) x, g ( x )  ax 2  b(a, b �R ) ，若 y  g  x  在 x  1 处的切线为 ． 的值； f  x  �kg  x   2k  2 对任意 x �R 恒成立，求 k 的取值范围；  1 , 2 ,L , n �(0, )  (3)设 2 ，其中 n �2, n �N ，证明： f  sin 1  �f  cos 