万有引力定律及其应用是Ⅱ级考点，难度中等，以选择题为主。万有引力定律是自然界最普遍的一条 定律，高考命题中很少直接考查万有引力的计算，但万有引力提供向心力是分析几乎所有天体运动类问题 的根本依据，复习时应注重定律的理解及应用。 从常考题型的角度来说，以人造卫星绕地球做圆周运动为背景，考查线速度、角速度、轨道半径、周 期、加速度等物理量的变化，求解中心天体的质量和密度问题，也常涉及牛顿运动定律和开普勒地定律。 一、万有引力定律的理解 1．内容及公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物 体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比。 公式：F＝G，其中 G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量。引力常量 G 是卡文迪许通过扭秤实验测量得 到的。 2．适用条件：适用于质点（两物体间的距离远大于每个物体的尺寸）、均匀介质球体或球壳之间万 有引力的计算。 二、万有引力和重力的区别及联系 1．在地球表面上的物体 地球表面上的物体随地球自转做圆周运动需要一个向心力，这个向心力是万有引力的一个很小的分力 （另外一个分力就是重力）提供的，如图所示，万有引力为 F，重力为 mg，自转向心力为 F 向。当然，真 实情况不会有这么大偏差。 （1）物体在一般位置时 F 向=mrω2，r 为自转轨道圆半径，r＜R，F 向、F、mg 不在一条直线上。 （2）当物体在赤道上时，F 向达到最大值 F 向 max=mRω2，重力达到最小值 力加速度达到最小值 ，重 。 （3）当物体在两极时 F 向 =0，mg=F，重力达到最大值 ，重力加速度达到最大值， 。 总结：只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引 力；在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的 向心力很小。 黄金代换：计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。即 或 者写成 GM=gR2，称为“黄金代换”。 2．离开地球表面的物体 卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受 到的重力， ，该处的重力加速度 。这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向 心加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。（因为万有引力即重力完全提供向心力） 三、天体质量和密度的计算 1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 。 （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 （g 表示天体表面的重 力加速度）。 （2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度： ，所以 在离地面高为 h 的轨道处重力加速度： ； ，得 。 2．天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R 由于 天体密度： ，故天体质量 ； ； （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r ① 由万有引力等于向心力，即 ② 若已知天体半径 R，则天体的平均密度 ，得出中心天体质量 ； ； ③ 若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 3．估算天体问题应注意三点 （1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为 24 h，公转周期为 365 天等； （2）注意黄金代换式 GM=gR2 的应用； （3）注意密度公式 的理解和应用。 四、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 1．线速度 v：由 得 ，可见，r 越大，v 越小；r 越小，v 越大。 2．角速度 ω：由 得 3．周期 T：由 得 4．向心加速度 an：由 ，可见，r 越大，ω 越小；r 越小，ω 越大。 得 ，可见，r 越大，T 越大；r 越小，T 越小。 ，可见，r 越大，an 越小；r 越小，an 越大。 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。 【2019·北京通州区检测】万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在 一致性统一起来。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的 结果。已知地球质量为 M，引力常量为 G，将地球视为半径为 R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的 是 A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为 F0＝G B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为 F1＝G C．在北极上空高出地面 h 处称量时，弹簧秤读数为 F2＝G D．在赤道上空高出地面 h 处称量时，弹簧秤读数为 F3＝G 【参考答案】AC 【详细解析】在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有 F0＝G，故 A 正确； 在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有 F1<G，故 B 错误； 在北极上空高出地面 h 处称量时，万有引力等于重力，则有 F2＝G，故 C 正确；在赤道上空高出地面 h 处 称量时，万有引力大于重力，弹簧秤读数 F3<G，故 D 错误。 1．【 2019·北京四中期末】（多选）质量为 m 的小物块静止在赤道处，下列关于小物块所受引力和重力的 说法正确的是 A．小物块所受重力的方向一定指向地心 B．小物块所受引力的方向一定指向地心 C．若地球自转加快，小物块所受重力变小 D．若地球自转加快，小物块所受引力变小 【答案】ABC 【解析】A、重力的方向竖直向下，而赤道处竖直向下和指向地心重合；则赤道位置的重力指向地心； 则 A 项符合题意；B、物体受到地球的万有引力方向沿物体和地球的球心连线而指向地心；故 B 项符合 题意；C、对赤道位置的物体分析可知，所受万有引力产生两分力效果，一是重力，二是自转向心力， 且三者的方向都指向地心，满足： ，则自转加快即角速度 增大，所需向心力 变大，而引力不变，故重力变小；故 C 项符合题意；D、物体所受万有引力大小 ，与自转快慢 无关，则地球自转加快时小物块所受的引力不变；故 D 项不合题意。 【2019·北京期末】地球半径是 R，地球表面的重力加速度是 g，万有引力常量是 G。忽略地球自转的 影响。如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度 A． B． 的表达式为 C． D． 【参考答案】C 【详细解析】地球表面重力与万有引力相等有： 球的体积为： ，所以地球的密度为： ，可得地球质量为： ，又地 ；C 正确。 1．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 θ（弧 度），如图所示，已知引力常量为 G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的 质量为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】线速度为： ；角速度为： ；根据线速度和角速度的关系公式，有：v=ωr；卫星做匀 速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： ；联立解得：M= ，故选 A。 2．如图所示，已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间 t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为 θ， 组合体轨道半径为 r，地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转。则下列各量不能求 出的是 A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．组合体做圆周运动的线速度 D．组合体受到地球的万有引力 【答案】D 【解析】组合体在时间 t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为 θ，则角速度为 供组合体的向心力，则 ，所以地球的质量为 ，根据万有引力提 ，可知能求出地球的质量 M，故 A 能求出；不考虑地球的自转时，物体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则得 ，解得 出地球的平均密度 ，则可以求出地球的半径 R，地球的密度为 ，故 B 能求出；根据线速度与角速度的关系 ，可知 ，可知能求 ，可知可以求 出组合体做圆周运动的线速度，C 能求出；由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引 力，故 D 不能求出。 【2019·云南期末】我国计划于 2021 年开展火星上软着陆，以庆祝中国共产党成立 100 周年。地球绕 太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小，下列说法正确的是 A．在相等的时间内，地球与太阳的连线扫过的面积等于火星与太阳的连线扫过的面积 B．地球绕太阳运行的周期比火星绕太阳运行的周期大 C．地球绕太阳运行的线速度比火星绕太阳运行的线速度小 D．地球绕太阳运行的角速度比火星绕太阳运行的角速度大 【参考答案】D 【详细解析】A．地球和火星绕太阳的轨道不同，在相等的时间内，地球与太阳的连线扫过的面积并 不等于火星与太阳的连线扫过的面积。故 A 错误；B．根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的 三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。地球绕太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小，所以 地球绕太阳运行的周期比火星绕太阳的周期小。故 B 错误；C．把椭圆轨道近似看成是圆轨道，根据 ，地球绕太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小，可以推出地球绕太阳运行的线速度 比火星绕太阳运行的线速度大。故 C 错误；D．把椭圆轨道近似看成是圆轨道，根据 ，地球绕 太阳运行的半长轴比火星绕太阳运行的半长轴小，地球绕太阳运行的角速度比火星绕太阳运行的角速度大。 故 D 正确； 1．（多选）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原地。若他在某星球表 面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原地。已知该星球的半径与地球半径之 比为 R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为 g，设该星球表面附近的重力加速度为 g′，空气阻力不计。 则 A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2 C．M 星∶M 地＝1∶20 D．M 星∶M 地＝1∶80 【答案】AD 【解析】由速度变化的对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t＝，5t＝，因此得＝＝，A 正确，B 错误；由 G＝mg 得 M＝，因此＝＝×2＝，C 错误，D 正确。 2．（多选）在一次探测慧星的活动过程中，载着登陆舱的探测飞船总质量为 ，在以慧星的中心为圆心、 半径为 的圆轨道上运动，周期为 ，寻找到合适的着陆地点后，变轨到离慧星更近的半径为 的圆轨 道上运动，此时登陆舱的质量为 。登陆舱随后脱离飞船开始登陆。下列说法正确的是 A．慧星的质量 B．登陆舱在半径为 轨道上运动的周期 C．登陆舱在半径为 与半径为 的轨道上