对顶角 一 ､ 学习目标 : 1､理解对顶角的概念,能在图形中辨认 2､掌握对顶角相等的性质并会用对顶角的性质进行有关推理和计算｡ 二 ､ 学习重难点 : 重点:对顶角的概念,能在图形中辨认 难点:对顶角相等的性质并会用对顶角的性质进行有关推理和计算｡ 探究案 三 ､ 教学过程 情境导入 要测量两堵墙所成的角的度数,但人不能进入围墙,如何测量? 知识点一:对顶角的概念 如图:两条直线 AB 与 CD 相交于点 O. 它们共形成了哪几个小于平角的角?把它们读出 来｡ 做一做 两条直线相交形成了∠1､∠2､∠3､∠4,它们之间存在什么关系? 可以用度量法验证! 邻补角定义: 一条__________,且另一条边互为_____________________,这两个角称为互为邻补角. 如图可知, ________和________ 互为邻补角, ________和________也互为邻补角. 对顶角定义: 如果一个角的两边分别是另一个角两边的________________,那么这两个角是对顶角. 如图可知, ________和________是对顶角, ________和________也是对顶角. 例题解析 例 1:下列各组角中,∠1 与∠2 是对顶角的是( ) 试一试 1.如图,直线 a､b 相交于点 O,若∠1 等于 40°,则∠2 等于( ) A.50° B.60° C.140° D.160° 2.如图,直线 AB､CD､EF 相交于点 O, (1)∠BOC 的邻补角是_____________ ; (2)∠AOD 的对顶角是_______; (3)∠AOC 的对顶角是_______. 3.下列各图中,∠l 和∠2 是对顶角吗?为什么? 方法总结 对顶角的识别方法 判定两个角是否互为对顶角,要抓住对顶角的特征: (1)有公共顶点; (2)两个角的两边互为反向延长线; (3)在判断时要注意前提条件是两条直线相交,无公共边. 对顶角的特点: (1)顶点相同; (2)角的边互为反向延长线｡ 知识点二:对顶角性质 想一想 如图,两条直线相交形成了∠1､ ∠2､ ∠3､ ∠4,那么对顶角∠1 与∠3 相等吗? ∠2 与∠4 呢? 归纳总结 性质:如果两个角是对顶角,那么这两个角________｡ 简称: __________________________________ 例题解析: 例 2:如图所示,直线 AB,CD 交于点 O,且∠BOC=80°,OE 平分∠BOC,OF 为 OE 的反 向延长线. (1)求∠2 和∠3 的度数; (2)OF 平分∠AOD 吗?请说明理由. 试一试 1､如图,在△ABC 中,BC=5,∠A=70°,∠B=75°,把△ABC 沿直线 BC 的方向平移到 △DEF 的位置,若 CF=3,则下列结论中错误的是( ) A. BE=3 B. ∠F=35° C. DF=5 D. AB∥DE 2､下列命题中,是真命题的为( ) A. 如果 a>b,那么|a|>|b| B. 一个角的补角大于这个角 C. 平方后等于 4 的数是 2 D. 直角三角形的两个锐角互余 问题解决 要测量两堵墙所成的角的度数,但人不能进入围墙,如何测量? 随堂检测 1､如图,当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就是折射现象 .已知 图中∠1=47°,∠2=30°, 则光的传播方向改变的度数为( ) A. 13° B. 15° C. 17° D. 19° 2 ､ 如图 ,直线 AB,CD 交于点 O,OE 平分∠AOD,OF 平分∠BOD.已知∠AOF=160°,则 ∠COE=__ __. 3､如图,图中对顶角共有( )对. A.6 B.11 C.12 D.13 4､如图,直线 AB､EF 相交于点 D,∠ADC=900｡ (1)∠1 的对顶角是_______;∠2 的余角有___________｡ (2)若∠1 与∠2 的度数之比为 1︰4, 求∠BDF 的度数｡ 5、如图,直线 AB,CD 相交于点 O,作∠DOE=∠BOD,OF 平分∠AOE.若∠AOC=30°, 则∠EOF=__ __. 6､如图,l1,l2,l3 交于点 O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4 的度数. 课堂小结 通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来： 我的收获 ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 参考答案 探究案 知识点一：对顶角概念 ∠ AOD 、∠ BOD 、∠ BOC 、∠ AOC 做一做 邻补角定义: 一条边公共边,且另一条边互为反向延长线, 这两个角称为互为邻补角. 如图可知, ∠1 和∠2 互为邻补角,∠3 和∠4 也互为邻补角. 对顶角定义: 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,那么这两个角是对顶角. 如图可知,∠1 和∠3 是对顶角, ∠2 和∠4 也是对顶角. 例题解析: 例 1:D [解析] 根据两条直线相交,才能构成对顶角进行判断,A,B,C 都不是由两条直线 相交构成的图形,错误;D 是由两条直线相交构成的图形,正确.故选 D. 试一试 1.C 2.（1）∠AOC 和∠BOD （2）∠BOC （3）∠BOD 3. 知识点二：对顶角性质 想一想 解： ∠1 与∠3 相等. ∵ ∠1+ ∠2= 180 °， ∠3+ ∠2 = 180 ° ∴ ∠1 = ∠3（同角的补角相等） 同理∠2＝∠4 归纳总结 相等 对顶角相等 例题解析: 例 2:解:(1)因为∠BOC=80°,OE 平分∠BOC,所以∠1=∠COE=40°.根据对顶角相等, 可得∠3=∠COE=40°.根据平角的定义,可得∠2=180°-40°-40°=100°. (2)OF 平分∠AOD.理由:根据对顶角相等,可得∠AOF=∠1=40°.又因为∠3=40°,所 以 OF 平分∠AOD. 试一试 1､对顶角相等 2､145° 问题解决 随堂检测 1､A 2、110° 3、A 4、（1）∠BDF ∠ 1 和∠BDF （2）18 ° 5、60° 6、解：设∠1=x,则∠2=x,∠3=8x. 根据题意,得 x+x+8x=180°,解得 x=18°. ∴∠1=∠2=18°. ∵∠4=∠1+∠2, ∴∠4=18°+18°=36°.