7.3.2 离散型随机变量的方差 1. 复习 (1) 离 散 型 随 机 变 量 的 均 值 ： 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所 示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 E ( X )  x1 p1  x2 p2  � � �  xn pn  n �x p i 1 i i 为随机变量 X 的均值或数学期望 ， 数学期望简称期 望. E (aX  b)  aE ( X )  b. (2) 均值的性质： (3) 随机变量 X 服从两点分布，则 有 E ( X )  0 �(1  p)  1 �p  p. 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均 水平或分布的 “集中趋势 ” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机 变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量 取值波动大小的数字特征 . 问题 2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛 . 根据以往 的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X 和 Y 的分布列如下 表所示 X . 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平 ? 通过计算可得，E ( X )  8，E (Y )  8. 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平 . 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定 性，即击中环数的离散程度 . 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出 X 和 Y 的概率分布图 . P P 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 6 7 8 9 10 X O 6 7 8 9 10 Y 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于 8 环，即乙同 学的射击成绩更稳定 . 思考 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程 度? 2. 离散型随机变量的方差 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所 有数据与样本均值的 “偏差平方的平均值”来实现的，所以我们可以用能否用 可能取值与均值的 “偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度 . 设离散型随机变量 X 的分布列如下表所示 . X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 随机变量 X 所有可能取值 xi 与 E(X) 的偏差的平方为 (x1 － E(X))2 ， (x2 － E(X))2 ， ‧ ‧ ‧ ， (xn － E(X))2. 所以偏差平方的平均值为 (x1 － E(X))2P1 ＋ (x2 － E(X))2 P2 ＋ ‧ ‧ ‧＋ (xn － E(X))2Pn . 我们把随机变量 X 的这个平均值称为随机变量 X 的方差，用 D(X) 表 2. 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所 示. x1 x2 X ‧‧‧ p1 P p2 ‧‧‧ xn pn 2 则称 D( X )  ( x  E ( X ))2 p  ( x  E ( X ))2 p  � � �  ( x  E ( X )) pn 1 1 2 2 n n  �( xi  E ( X ))2 pi i 1 为随机变量 X 的方差 ， 有时也记为 Var(X) ，并称 D( X ) 准差，记为 σ(X). 为随机变量 X 的标 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程 度，反映了随机变量取值的离散程度 . 方差或标准差越小，随机变量的取值 越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 . 3. 一组数据的平均数、方差与离散型随机变量的均值、方差公式对 比 若一组数据为 x ， x ， ‧ ‧ ‧ ， x ，则该数据的平均数和方差公式 1 2 n 分别为 1 1 2 � �  ( xn  x )2 ] x  ( x1  x2  � � �  xn )， s  [( x1  x )2  ( x2  x )2  � n n n 1 n 1  �( xi  x )2  �xi 2  x 2 . n i 1 n i 1 若随机变量的概率分布为,则有 X P ( X  xi )  pi ( i  1, 2, 3, � � � , n) n E ( X )  x1 p1  x2 p2  � � �  xn pn  �xi pi i 1 D( X )  ( x1  E ( X ))2 p1  ( x2  E ( X ))2 p2  � � �  ( xn  E ( X ))2 pn n n i 1 i 1  �( xi  E ( X ))2 pi  �xi2 pi  ( E ( X ))2 . 问题 2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛 . 根据以往的 成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X 和 Y 的分布列如下表所 示 .X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平 . 解：∵，E ( X )  8 E (Y )  8. ∴ D( X )  4 �0.09  1 �0.24  0 �0.32  1 �0.28  4 �0.07  1.16. D(Y )  4 �0.07  1 �0.22  0 �0.38  1 �0.30  4 �0.03  0.92. ∵， D(Y )  D( X ) ∴ 随机变量 Y 的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳 定. 例 1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方 差解：随机变量 . X 的分布列为 1 P ( X  k )  , k  1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 1 7 ∴. E ( X )  �(1  2  3  4  5  6)  6 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 1 D( X )  [(1  )  (2  )  (3  )  (4  )  (5  )  (6  ) ] � 2 2 2 2 2 2 6 25  9  1  1  9  25 1 35  �  . 4 6 12 变式 1 已知随机变量 X 的分布列如下表所示，求 D(X). X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.4 0.2 0.1 解：∵.E ( X )  0 �0.2  1 �0.2  2 �0.4  3 �0.2  4 �0.1  2 ∴ D( X )  (0  2)2 �0.2  (1  2)2 �0.2  (2  2) 2 �0.3  (3  2) 2 �0.2  (4  2)2 �0.1  1.6. 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论 . n n i 1 i 1 D( X )  �( xi  E ( X ))2 pi  �xi2 pi  ( E ( X ))2 . n n 证明：D( X )  �( xi  E ( X )) pi  �( xi2  2 E ( X ) xi  ( E ( x ))2 ) pi 2 i 1 i 1 n n n i 1 i 1 i 1  �xi2 pi  2 E ( X )�xi pi  ( E ( x ))2 �pi n  �x pi  2 E ( X ) � E ( X )  ( E ( x )) �1 i 1 n 2 i  �xi2 pi  ( E ( x ))2 . i 1 2 例 1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方 差解 . 2 ：随机变量 X 的分布列 为 1 P ( X  k )  , k  1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 1 7 ∴. E ( X )  �(1  2  3  4  5  6)  6 2 6 ∴ D( X )  �xi2 pi  ( E ( X ))2  (12  22  32  42  52  62 ) �1  ( 7 )2 6 2 i 1 1 7 2 35  91 �  ( )  . 6 2 12 3. 方差的性质 探究 离散型随机变量 X 加上一个常数，方差会有怎样的变化 ? 离散型 随机变量 X 乘以一个常数，方差又有怎样的变化 ? 它们和期望的性质有 什么不同 ∵,E ( X ?b )  E ( X )  b E (aX )  aE ( X ). n n i 1 i 1 ∴ D( X  b )  �[( xi  b )  E ( X  b )]2 pi  �( xi  E ( X ))2 pi  D( X ). n D(aX )  �[axi  E (aX )]2 pi  a i 1 2 n 2 2 ( x  E ( X )) p  a D( X ). � i i i 1 ∴ D(aX  b )  a 2 D( X ). 均值的性质：E (aX  b )  aE ( X )  b. 2 方差的性质：D(aX  b )  a D( X ).  (aX  b ) | a | D( X ) | a |  ( X ). 变式 2 已知随机变量 X 的分布列如下表所示，求 E(2X － 1), D(2X － 1), σ(2X). X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.4 0.2 0.1 解：∵.E ( X )  0 �0.2  1 �0.2  2 �0.4  3 �0.2  4 �0.1  2 ∴ D( X )  (0  2)2 �0.2  (1  2)2 �0.2  (2  2) 2 �0.3  (3  2) 2 �0.2  (4  2)2 �0.1  1.6. ∴ E (2 X  1)  2 E ( X )  1  3. D(2 X  1)  4 D( X