2022 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一） (时间：90 分钟　满分：150 分) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题 6 分，共 90 分) 1.已知集合 U＝{1，2， 3，4， 6，8}，A＝{1，3， 6}，B＝{1，4，6，8}，则 (∁UA)∪B 等于(　　) A.{1，2，8} B.{1，4，8} C.{1，2，4，6，8} D.{1，4，5，6，8} 2.若 sin αcos α<0，则 α 在(　　) A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第二或第三象限 D.第二或第四象限 3.下列函数中，在其定义域内是减函数的是(　　) A.f(x)＝－x2＋x＋1 C.f(x)＝log0.3 x B.f(x)＝ D.f(x)＝ln x 4.在区间[0，4]上任取一个实数 x，则 x>3 的概率是(　　) A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 5.已知直线 3x＋2y－3＝0 和 6x＋my＋1＝0 互相平行，则它们之间的距离是(　　) A. B.4 C. D. 6.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1C 与 DB 的位置关系为(　　) A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直 7.已知函数 f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为 π，为了得到函数 g(x)＝sin ωx 的 图象，只要将 y＝f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 8.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a＝3，b＝2，C＝120°，则 c＝(　　) A.7 B.19 C. D. 9.要完成下列两项调查： (1)某社区有 100 户高收入家庭，210 户中等收入家庭，90 户 低收入家庭，从中抽取 100 户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的 10 名体育特长生中抽取 3 人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是(　　) A.(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法 B.(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法 C.(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法 D.(1)(2)都用分层抽样法 10.若 a＝log22，b＝log23，c＝log32，则 a，b，c 的大小关系为(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 11.等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么{an}的前 7 项和 S7＝( A.22 B.24 C.26 D.28 ) r r r r 12.已知向量 a ＝(1，2)， b ＝(－3，－6)，若 b ＝λ a ，则实数 λ 的值为(　　) A. B.3 C.－ D.－3 13.数列 {an}是公差不为零的等差数列，若 a1 ，a2 ，a4 构成公比为 q 的等比数列，则 q=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 14.若直线 3x＋y＋a＝0 过圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心，则 a 的值为(　　) A.－1 C.3 B.1 D.－3 15.数列{an}前 n 项和为 Sn，且 a1＝－10，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则 Sn 取最小值时，n 的值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题(把答案填在题中的横线上，每小题 6 分，共 24 分) 16.已知 tan α＝2，则的值为________ 17.若 f(x)＝x2＋(m＋1)x＋(m＋1)图象与 x 轴没有公共点，则 m 的取值范围是_______ _(用区间表示)． 18.设 f(x)＝则 f(f(－2))＝________ 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AB ＝1，则侧棱 PC＝__________ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤，每小题 12 分，共 36 分) 20.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c·cos B－b＝2a. (1)求角 C 的大小；(2)设角 A 的平分线交 BC 于 D，且 AD＝，若 b＝，求△ABC 的面积． 21.已知圆 C 经过 A(3，2)、B(1，6)两点，且圆心在直线 y＝2x 上． (1)求圆 C 的方程；(2)若直线 l 经过点 P(－1，3)且与圆 C 相切，求直线 l 的方程． 22.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求证：数列{an＋3}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前 n 项和． 2022 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一）（参考答案） 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题 6 分，共 90 分) 1-5：CDCAC ， 6-10：DBDCA， 11-15：DDBBB 1.解析：因为∁ UA＝{2，4，8}，所以(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，8}． 2.解析：因为 sin αcos α<0，所以或所以 α 为第二或第四象限角．故选 D. 4. 解析：几何概率 x>3 的概率是 ＝，故选 A. 5.解析：∵两直线平行，∴－ ＝－ ，∴m＝4，∴两直线分别为 3x＋2y－3＝0，6x＋4y＋1＝0，∴d＝ ＝＝ 6.解析：因为 BD⊥面 AA1C，A1C⊂面 AA1C，所以 BD⊥A1C，所以 BD 与 A1C 异面且垂直．故选 D. 7.解析：∵周期为 π，∴＝π，∴ω＝2. ∵f＝sin[2＋ ]＝sin 2x，∴y＝f(x)的图象向右平移个单位得到 g(x)的图象．故选 B. 8.解析：由余弦定理得因为 c2＝a2＋b2－2abcos C，所以 c2＝32＋22－2×3×2×＝13＋6＝19.所以 c＝.故选 D. 9.解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选 C. 10.解析：因为 a＝log22＝1，b＝log23>log22＝1，c＝log32<log33＝1，所以 c<a<b.故选 A. 11. 解析：因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12, 所以 3a4＝a3＋a4＋a5＝12，解得 a4＝4，所以 S7＝ ＝ ＝7a4＝ 28. r r 12.解析：因为 b ＝λ a ，所以(－3，－6)＝λ(1，2)，所以 λ＝－3，故选 D. 13.解析：因为(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，所以 a1d－d2＝0，所以 a1＝d，所以 a2＝a1＋d＝2a1，所以 q＝＝2，故选 B. 14.解析：由题得圆心为(－1，2)，代入直线方程得 a＝1. 15.解析：在数列{an}中，由 an＋1＝an＋3，得 an＋1－an＝3(n∈N*), 所以数列{an}是公差为 3 的等差数列． 又 a1＝－10，所以数列{an}是公差为 3 的递增等差数列．由 an＝a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解 得 n≥. 因为 n∈N*，所以数列{an}中从第五项开始为正值．所以当 n＝4 时，Sn 取最小值．故选 B. 二、填空题(把答案填在题中的横线上．每小题 6 分，共 24 分．) 16.答案：3 解析：＝＝3. 17.答案：(－1，3) 解析：依题意 Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)<0⇒－1<m<3, 故 m 的取值范围用区间表示为(－1，3)． 18.答案：－2 解析：因为 x＝－2<0，所以 f(－2)＝10－2＝>0, 所以 f(10－2)＝lg10－2＝－2，即 f(f(－2))＝－2. 19.答案： 解析：连 AC，在 Rt△PAC 中，PA＝1，AC＝，所以 PC＝＝ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．每小题 12 分，共 36 分．) 20.解：(1)由已知及余弦定理得 2c×＝2a＋b, 整理得 a2＋b2－c2＝－ab, 所以 cos C＝ ＝＝－， 又 0<C<π， 所以 C＝，即角 C 的大小为. (2)由(1)知 C＝，依题意画出图形．在△ADC 中，AC＝b＝，AD＝， 由正弦定理得 sin ∠CDA＝＝×＝， 又△ADC 中，C＝， 所以∠CDA＝， 故∠CAD＝π－－＝. 因为 AD 是角∠CAB 的平分线， 所以∠CAB＝， 所以△ABC 为等腰三角形，且 BC＝AC＝. 所以△ABC 的面积 S＝BC·AC·sin ＝×××＝. 21.解：(1)解法一：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0), 依题意得， 解得 a＝2，b＝4，r2＝5.所以圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5. 解法二：因为 A(3，2)、B(1，6)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为(2，4), 直线 AB 的斜率 kAB＝＝－2， 因此直线 AB 的垂直平分线 l'的方程是 y－4＝(x－2)，即 x－2y＋6＝0. 圆心 C 的坐标是方程组的解．解此方程组，得即圆心 C 的坐标为(2，4)． 圆 C 的半径长 r＝|AC|＝＝.所以圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5. (2) 由于直线 l 经过点 P(－1，3), 当直线 l 的斜率不存在时，x＝－1 与圆 C：(x－2)2＋(y－4)2＝5 相离，不合题意． 当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y－3＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋3＝0. 因为直线 l 与圆 C 相切，且圆 C 的圆心为(2，4)，半径为，所以有＝.解得 k＝2 或 k＝－. 所以直线 l 的方程为 y－3＝2(x＋1)或 y－3＝－(x＋1), 即 2x－y＋5＝0 或 x＋2y－5＝0. 22.(1)证明：因为 Sn＝2an－3n，① 所以 n≥2 时， Sn－1＝2an－1－3(n－1)，② ①－②得 Sn－Sn－1＝2an－2an－1－3，即 an＝2an－2an－1－3， 所以 an＝2an－1＋3， 所以 an＋3＝2(an－1＋3) 所以＝2， 所以{an＋3}为以 2 为公比的等比数列， 因为 2an－3n＝Sn，所以 2a1－3＝S1＝a1，所以 a1＝3. 所以 an＋3＝6·2n－1，所以 an＝3·2n－3. (2)解：Sn ＝(3·21 －3)＋(3·22 －3)＋…＋(3·2n －3)＝3(21 ＋…＋2n)－3n＝3·－3n＝6·2n －6－ 3n.