2020-2021 学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．若直线 l1、l2 的方向向量分别为 ＝（1，2，﹣2）， ＝（﹣2，3，2），则 l1 与 l2 的位 置关系是（　　） A．l1⊥l2 B．l1∥l2 C．l1、l2 相交不垂直 D．不能确定 3．已知点 G 是正方形 ABCD 的中心，点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，则 + + + 等于（　　） A．4 B．3 C．2 D． 4．（2x﹣y）5 的展开式中 x2y3 的系数为（　　） A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 5．已知直线 l 的方程为 3x﹣4y＝b，圆 C 的方程为 x2+y2﹣2x+2y+1＝0，则“b＝2”是“l 与 C 相切”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中 各至少选一门，则不同的选法共有（　　） A．3 种 7．已知双曲线 C： B．6 种 C．9 种 D．18 种 ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 （ ﹣ c，0），F2（c，0）（其中 c＞0），过焦点 F1 向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线 C 的右支于点 P，若∠F1PF2＝ ，则双曲线 C 的渐近线方程为（　　） A．x±y＝0 B．2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．x± y＝0 8．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，设点 M 是棱 A1C1 的中点， 点 P 在底面 ABC 所在平面内，若平面 B1MP 分别与平面 AA1C1C 和平面 ABC 所成的锐二 面角相等，则点 P 到点 B 的最短距离是（　　） A． B． C．1 D． 二、多项选择题（共 4 小题）. 9．方程 A．圆 ＝1 表示的曲线可能是（　　） B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 10．已知抛物线 y2＝4x 焦点为 F，点 A（1，3），点 P 在抛物线上，则下列结论正确的是 （　　） A．|PA|+|PF|的最小值为 3 B．|PA|+|PF|的最大值为 7 C．|PA|﹣|PF|的最小值为﹣2 D．|PA|﹣|PF|的最大值为 3 11．关于（ ﹣1）2020 及其展开式，下列说法正确的有（　　） A．该二项展开式中第六项为 C x1007 B．该二项展开式中非常数项的系数和为﹣1 C．该二项展开式中不含有理项 D．92020 除以 100 的余数是 1 12．如图所示，已知平面四边形 ABCD，AB＝BC＝3，AD＝1，CD＝ 沿直线 AC 将△ABC 翻折成△AB′C，下列说法正确的是（　　） ，∠ADC＝ ， A． • ＝﹣2 B． • ＝1 C．直线 AC 与 B'D 成角余弦的最大值为 D．点 C 到平面 AB'D 的距离的最大值为 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． ＝　 　． 14．在四棱锥 P﹣ABCD 中， ＝（4，﹣2，4）， ＝（﹣4，1，0）， ＝（﹣6，2， ﹣8），则这个四棱锥的高 h＝　 　． 15．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、 虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马 和羊，丙同学这十二个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物，那么 不同的选法有　 　种． 16．已知 F1，F2 是双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 双 曲 线 C 的 左 支 交 于 点 A ， 与 右 支 交 于 点 B ， 若 |AF1| ＝ 2a ， ∠ F1AF2 ＝ ，则 ＝　 　，双曲线 C 的离心率为　 　． 四、解答题（共 6 小题）. 17．已知圆 C：（x﹣1）2+y2＝9 内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点． （Ⅰ）当经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （Ⅱ）求弦长 AB 的最小值，以及此时直线 l 的方程． 18．在① • ＝﹣4，② ＝3，③以 AB 为直径的圆与准线相切，这三个条件中任选 一个，补充到下面的问题中，求出直线 l 的一般方程． 问题：已知抛物线 C：y2＝4x，过 x 轴正半轴上一点 M，倾斜角为 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，____，求直线 l 的一般方程． 19．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D 是 AC 的中点． （Ⅰ）求证：B1C∥平面 A1BD； （Ⅱ）求直线 A1B1 与平面 A1BD 成角的正弦值． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，已知 A（x0，0），B（0，y0）两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且|AB|＝1，若动点 P（x，y）满足 ． （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）已知点 D（0，2），斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 M，N 两点．如果△DMN 的重 心恰好在 x 轴上，求 k 的取值范围． 21．如图，正方形 ABCD 边长为 1，ED⊥平面 ABCD，FB⊥平面 ABCD，且 ED＝FB＝ 1（E，F 在平面 ABCD 同侧），G 为线段 EC 上的动点． （Ⅰ）求证：AG⊥DF； （Ⅱ）求 AG2+BG2 的最小值，并求取得最小值时二面角 B﹣AG﹣C 的余弦值． 22．已知椭圆 E： ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1，F2，且|F1F2|＝2，左、右顶 点为 M，N． （Ⅰ）若椭圆 E 的离心率 e＝ ，设点 P（﹣4，n）（n≠0），直线 PN 交椭圆 E 于点 Q，且直线 MP，MQ 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值； （Ⅱ）斜率为 k 的直线 l 过 F2，且与曲线 E 交于 A，B 两点，当 k 变化时，△ABF1 的内 切圆面积有最大值，求椭圆 E 的离心率 e 的取值范围． 参考答案 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 解：由 y2＝2px＝8x，知 p＝4，又焦点到准线的距离就是 p． 故选：C． 2．若直线 l1、l2 的方向向量分别为 ＝（1，2，﹣2）， ＝（﹣2，3，2），则 l1 与 l2 的位 置关系是（　　） A．l1⊥l2 B．l1∥l2 C．l1、l2 相交不垂直 D．不能确定 解：∵直线 l1、l2 的方向向量分别为 ＝（1，2，﹣2）， ＝（﹣2，3，2）， ＝﹣2+6﹣4＝0， ∴l1 与 l2 的位置关系是 l1⊥l2． 故选：A． 3．已知点 G 是正方形 ABCD 的中心，点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，则 + 等于（　　） A．4 解：如图， B．3 ， C．2 ， D． ， ， + + ＝ ∴ ． 故选：A． 4．（2x﹣y）5 的展开式中 x2y3 的系数为（　　） A．80 B．﹣80 C．40 解：（2x﹣y）5 的展开式的通项公式为 Tr+1＝ 令 r＝3，可得展开式中 x2y3 的系数为﹣ D．﹣40 •（2x）5﹣r•（﹣y）r， •22＝﹣40， 故选：D． 5．已知直线 l 的方程为 3x﹣4y＝b，圆 C 的方程为 x2+y2﹣2x+2y+1＝0，则“b＝2”是“l 与 C 相切”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：圆 C 的方程为 x2+y2﹣2x+2y+1＝0 即（x﹣1）2+（y+1）2＝1， 圆心是（1，﹣1），半径是 r＝1， b＝2 时，直线 l：3x﹣4y﹣2＝0， 圆心（1，﹣1）到直线 3x﹣4y﹣2＝0 的距离是 d＝ ＝1＝r， 故直线和圆相切，是充分条件， 若直线 l 和圆相切，则圆心（1，﹣1）到直线 3x﹣4y﹣b＝0 的距离 d＝ ＝r＝1，即|b﹣7|＝5，解得：b＝2 或 b＝12， 故“b＝2”是“l 与 C 相切”的充分不必要条件， 故选：A． 6．某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中 各至少选一门，则不同的选法共有（　　） A．3 种 B．6 种 C．9 种 D．18 种 解：可分以下 2 种情况：① A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C21C32 种不同的 选法； ②A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C22C31 种不同的选法． ∴根据分类计数原理知不同的选法共有 C21C32+C22C31＝6+3＝9 种． 故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 9 种． 故选：C． 7．已知双曲线 C： ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 （ ﹣ c，0），F2（c，0）（其中 c＞0），过焦点 F1 向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线 C 的右支于点 P，若∠F1PF2＝ A．x±y＝0 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（　　） B．2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．x± 解：设过焦点 F1 向渐近线 y＝﹣ x 作垂线，垂足为 M，如图所示， ∴点 F1 到 y＝﹣ x 的距离为 MF1＝ ∵∠F1MO＝∠F1PF2＝ ， ＝b， y＝0 ∴OM∥PF2， 又 O 为 F1F2 的中点， ∴M 为 PF1 的中点，即 PF1＝2MF1＝2b， 在 Rt△PF1F2 中，PF2＝ ＝ ＝2a， 由双曲线的定义知，PF1﹣PF2＝2a，即 2b﹣2a＝2a， ∴b＝2a， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝±2x． 故选：B． 8．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，设点 M 是棱 A1C1 的中点， 点 P 在底面 ABC 所在平面内，若平面 B1MP 分别与平面 AA1C1C 和平面 ABC 所成的锐二 面角相等，则点 P 到点 B 的最短距离是（　　） A． B． C．1 D． 解：设点