第 01 讲 圆柱和圆锥 知识盘点 一、面的旋转 1.点动成线，线动成面，面动成体。 2.将一个长方形以长(宽)为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。 圆柱有两个底面和一个侧面，两个底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲 面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。 3.将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。 圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。 面的形状不同，快速旋转后形成的立体图形也不同。 4.测量圆锥的高的方法:把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东 西，比如一块木板，并与底面平行，测量一下这两个平面间的距离，这两个平 面间的距离就是圆锥的高。即: 5.测量圆柱的高的方法:把圆柱放在水平面上，选一把直尺和一个直角三角板， 使圆柱的底面与直尺的 0 刻线对齐，使三角板与直尺垂直并靠紧圆柱的底面， 此时圆柱的另一个底面对准的刻度值即是圆柱的高。 二、圆柱的表面积 1、圆柱的侧面积。 圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形。长方形的长就是圆柱的底面的周 长，长方形的宽就是圆柱的高。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示:S 侧=Ch 2、圆柱的表面积。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积 圆柱的表面积公式：S 表=2πr²+2πrh。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（S 表=S 侧+2S 底）； 圆柱的底面积=圆的面积，也就是 S 底=πr²。 不同的圆柱形实物，它们的表面积也不相同。比如圆柱形烟囱的表面积等于烟 囱的侧面积，圆柱形水桶的表面积就是水桶的侧面积加上一个底面积。 三、圆柱的体积 1.意义:圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 2.圆柱的体积的计算公式。 把一个圆柱的底面平均分成若干个相等的扇形，再把这些扇形按照等分线沿高 剪开，等分成若干份，就可以拼成一个近似的长方体。如图: 长方体的体积=　　长　　×　　宽×高 　　↓　　　　　　↓　　　　　↓　↓ 圆柱的体积 = 底面周长的一半×半径 ⏟ 底面积 ×高 用字母表示:V=S×h V=πr2×h 3.求不规则物体的体积。 计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的 水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出， 这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。 注意圆柱形容器的体积和容积是不一样的。 容积是容器所能容纳物体的体积。 体积是物体所占空间的大小。 四、圆锥的体积 1.意义:圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2.圆锥的体积公式。 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆 柱形容器，3 次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的 1 3 。 1 圆锥的体积=圆柱的体积× 3 1 用字母表示为 V= 3 Sh 1 V=πr2h× 3 这里 V 表示体积，S 表示圆锥的地面积，h 表示高。 求圆锥的体积的时候注意题目中给出的条件是什么，可能是底面半径和高，也 有可能是底面直径和高。 典型精讲 知识点一 面的旋转 1．一个长方形的长是 8 厘米，宽是 5 厘米，以它的长为轴旋转一周，能够形成一个（ ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 答案：D 2．请标出圆锥的各部分名称。 答案： 3．将三角形小旗以长为 4 厘米的直角边为轴旋转一周，另一直角边为 3 厘米，可以形成 一个什么图形？它的底面直径是多少？高是多少？ 答案：圆锥，6 厘米，4 厘米 直角三角形小旗以 4 厘米为轴旋转，所以得出的圆锥的高为 4 厘米，底面半径是 3 厘米， 那么底面直径是 6 厘米。 知识点二 圆柱的表面积 1．一个圆柱的侧面积是 50.24 平方分米，底面半径是 4 分米，它的高是（ A．2 厘米 B．2 分米 ）。 C．20 米 答案：B 2．圆柱的侧面积是 37.68m2，圆柱的高是 3m，它的底面周长是（ ）m，半径是（ ）m。 答案：12.56 2 3．淘气去摘草莓，发现草莓园大棚的外形是半个圆柱形。尺寸如下图（单位：米）要用 一层塑料膜覆盖草莓园大棚和两侧的半圆，至少需要多少塑料膜？ 答案：200.96 平方米 3.14×4×30÷2＋3.14×（4÷2）2 ＝188.4＋12.56 ＝200.96（平方米） 答：至少需要 200.96 平方米的塑料膜。 知识点三 圆柱的体积 1．将一个棱长是 4 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，则圆柱的体积是（ ）立方 分米。 A．200.96 B．12.56 C．50.24 答案：C 2．一个圆柱高 10cm，将它切开、拼成一个近似的长方体（如下图），表面积增加 80 cm 2 。这个圆柱的体积是（ ） cm3 。 答案：502.4 3．如图，圆柱体容器中有 628 毫升的水，乌鸦至少要衔多少立方厘米的石子放进容器中 才能喝到水？ 答案：314 立方厘米 628 毫升＝628 立方厘米 3.14×（10÷2）2×12－628 ＝3.14×25×12－628 ＝942－628 ＝314（立方厘米） 答：乌鸦至少要衔 314 立方厘米的石子放进容器中才能喝到水。 知识点四 圆锥的体积 3 1．把一个圆柱形木头削成一个最大的圆锥。已知削去的体积是 36dm ，这根圆柱形木头的 体积是（ A． 48dm ）。 3 B． 54dm 3 C． 72dm 3 D． 108dm 3 答案：B 2．等底等高的圆锥体、圆柱体和长方体，圆柱体与圆锥体体积的比是（ 长方体体积的比值是（ ）；圆锥体与 ）． 答案：3：1，1：3 3．一个近似于圆锥形砂堆量得底面周长 12.56 米，高 3 米，把它铺在一个长 6 米、宽 4 米、深 0.6 米的沙坑中能否堆满？ 答案：不能堆满 解：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×3× ， =3.14×4， =12.56（立方米）， 6×4×0.6=14.4（立方米）， 14.4 立方米＞12.56 立方米， 故不能堆满． 易错题专训 一、选择题（满分 16 分） 1．如下图，一个长方形长为 a，宽为 b。分别以长为轴、宽为轴旋转，产生了两个圆柱 甲、乙。判断甲、乙两个圆柱侧面积的大小关系（ A．甲＞乙 B．甲＜乙 ）。 C．甲＝乙 D．无法比较 3 2．把一个圆柱形木头削成一个最大的圆锥。已知削去的体积是 36dm ，这根圆柱形木头的 体积是（ A． 48dm ）。 3 B． 54dm 3 C． 72dm 3 D． 108dm 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱底面直径与高的比是（ A．1∶4π B．1∶π C．1∶1 3 ）。 D．1∶2 4．一个圆柱体的体积是 5024 立方厘米，如果它的底面半径和高分别扩大到原来的 2 倍，体积应是（ A．100.48 ）立方厘米。 B．200.96 5．下面几何体中，体积最小的是（ A． B． C．40192 D．803.84 ）。（图中单位∶cm） C． D． 6．用一个高为 6 厘米的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高 度是（ ）。 A．2 厘米 B．18 厘米 C．6 厘米 D．12 厘米 7．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原体积的（ A． 1 2 B． 1 3 C． ）。 2 3 8．在长 0.6 米的圆柱形钢柱上，用一根长 314 厘米的铁丝正好沿钢柱绕一圈，这根钢柱 的体积是（ A．47.1 ）立方分米。 B．471 二、填空题（满分 16 分） C．4710 D．1884 1 9．一个圆锥的底面积是一个长方体底面积的 3 ，它们的高相等，那么这个圆锥的体积是 长方体体积的（ ）。 10．如图，把一个底面半径是 3 厘米，高是 18 厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方 体，长方体的体积是（ ）立方厘米，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了（ ）平 方厘米。 11．把一个底面半径为 3dm、高 20cm 的圆柱平均分成若干份，拼成近似的长方体，长 方体的表面积增加了（ ）dm2，体积是（ ）dm3。 12．一个圆柱沿底面直径切成相等的两部分，切面是边长为 2dm 的正方形，一个切面的 面积是（ ）dm2，原来圆柱的表面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3。 13．一个圆柱的底面半径是 2 厘米，高是 3 厘米，这个圆柱的侧面积是（ 表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）平方厘米， ）立方厘米，和它等底等高的圆锥体积是（ ） 立方厘米。 14．把一根长 3m 的圆柱形木料截成 3 个小圆柱，表面积比原来增加了 1256cm ，这根木料 2 的体积是（ 3 ）m 。 15．一根长 100cm 的圆柱形木料，沿着木料横截成长短不同的 3 个圆柱形，表面积增加 50cm 2 ，这根圆柱形木料原来一共的体积是（ ） cm3 。 16．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱的高是 1.2 米，圆锥的高是（ ）米。 三、判断题（满分 8 分） 17．如果将一张长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形纸卷成一个圆柱（忽略接头处），那么这个 圆柱的侧面积是 48 平方厘米。（ ） 18．棱长是 6cm 的正方体，它的体积和表面积相等。（ 19．圆锥的顶点到底面上任意一点的距离就是它的高。（ 20．三个圆锥的体积等于一个圆柱的体积。（ ） ） ） 四、计算题（满分 12 分） 21．(12 分)（1）计算下面圆柱体的表面积。 （2）计算下面圆锥体的体积。 五、连线题（满分 6 分） 22．(6 分)如图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周，能形成什么图形？请 你连一连。 六、解答题（满分 42 分） 23．(6 分)把一个底面半径为 6 厘米的圆锥体铁块放入一个底面半径 10 厘米，高 30 厘米 的圆柱形容器里，完全浸入到水中，水面上升了 3 厘米，求这个圆锥体铁块的高是几厘 米？ 24．(6 分)沿着虚线将下面图形旋转一周， 旋转后的立体图形的体积是多少？ 25．(6 分)“数学好玩”小组的同学们为了测量一个底面直径是 6 厘米的圆锥体铁块的体 积，将这个圆锥体铁块浸没在一个底面半径是 10 厘米，水深是 8 厘米的圆柱体容器中， 发现水面上升到 10 厘米（水未溢出）。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 26．(6 分)一台压路机，前轮直径 1 米，轮宽 1.2 米，工作时每分钟转到 15 周，这台压 路机工作 1 小时前轮压过的路面是