人教版数学六年级上册知识点汇总与错题专练 第八单元 数学广角——数与形 知识点 1 找规律 （1）2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110) 规律∶从 2 开始的 n 个连续偶数的和等于 n×（n+1）。 10×(10+1)=10×11=110 （2）1=12=1 1+3=22=(4) 1+3+5=32=(9) 1+3+5+7=42=(16) 1+3+5+7+9=52=（25） 1+3+5+7+9+11=62=(36) 1+3+5+7+9+11+13=72=(49) 1+3+5+7+9+11+13+15=82=（64） 1+3+5+7+9+11+13+15+17=92=（81） 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=(100) 从 1 开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。即：从 1 开始的 n 个连续奇数相 加的和可以用 n2 表示，即 1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2。 （3）解答数形结合类规律探索问题时，要仔细观察数与形之间的关系，先找到数与 形之间隐含的数学规律，再利用规律进行解答即可。 易错点 1 不能正确找到图形中存在的规律。 【错例 1】 摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个正方形用 7 根小棒，按此规律， 摆 n 个正方形用（ ）根小棒。 【错误答案】4n 【错误原因】不能正确找到图形中存在的规律。 【正确答案】 1+3n 【解题指导】通过题意和观察图形可知，第一个正方形由 4 根小棒摆成。如果把最左 边的 1 根单独看，第一个正方形可以理解为 1＋3；再加三根就得到 2 个正方形，摆两个 可以理解为 1＋3×2=7（根），摆三个要 1＋3×3=10（根），摆四个要 1＋ 3×4=13（根）。以此类推，得出规律：连着摆 n 个这样的正方形需（1＋3n）根小棒。 跟踪训练 1.找规律，写一写。 1=（ ）2 ）2 1＋3＋5=（ ）2 1＋3＋5＋7＋9=（ ）2 1＋3=（ 1＋3＋5＋7=（ ）2 1＋3＋5＋7＋9＋11=（ ） 2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15=（ ） 2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1=（ ） 2＋（ 2.利用规律填一填。 2=2×1=（ ） 2＋4=3×2=（ 2＋4＋6＋8＋10=（ ） ×（ ） =（ 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16=（ 3.找规律，计算。 1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=_____ 111111×111111=_____ _____×_____=1234567654321 4.观察下列等式： 1 1 1 第 1 个等式： a1  1�3  2 �(1  3 ) 第 2 个等式： a2  ） 2＋4＋6=4×3=（ 1 1 1 1  �(  ) 3 �5 2 3 5 1 1 1 1 第 3 个等式： a3  5 �7  2 �( 5  7 ) ） ） ×（ ） =（ ） ） ） 2=（ ） 1 1 1 1 第 4 个等式： a4  7 �9  2 �( 7  9 ) …… 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第 5 个等式： （2）求 a1  a2  a3  a4  L  a100 a5 =（ ） =（ ） 的值。 知识点 2 数图形的个数 （1）解决数形结合问题时，注意观察图形，数与形要对应。 （2）遇见数图形的个数的数形结合问题时，要了解图形的特征是什么，从最基础的 一个图形开始数，并按照一定的规律数，保证结果既不重复，也不遗漏。 易错点 2 因为遗漏而解答错误。 【错例 1】 右图中共有多少个长方形？ 【错误答案】共有 6 个长方形。 【错误原因】漏数了长方形。 【正确答案】共有 18 个长方形。 【解题指导】由 1 个小长方形组成的有 6 个，由 2 个小长方形组成的有 7 个，由 3 个 小长方形组成的有 2 个，由 4 个小长方形组成的有 2 个，由 6 个小长方形组成的有 1 个， 共有 6＋7＋2＋2＋1=18（个）长方形，数图形的个数，要按照一定的规律数，才能使结 果既不重复，也不遗漏。 跟踪训练 1.■◇◇●●●■◇◇●●●■◇◇●●●……，照这样的规律摆，第 40 个图形是（ ） 。 A.■ B.◇ C.● D.无法确定 2.看图找规律填空，求最外圈小正方形的个数。 照这样的规律接着画下去，第 4 个图形最外圈的小正方形个数是：（ =（ 2 ） 2－（ ） ）。 3.照如图排列的规律，第 10 幅图有（ ） 个圆点，第 n 个图有（ ） 个圆点。 4.小明用火柴棒搭首尾相连的“小鱼”（如图），请完成下面的问题。 小鱼个数 1 2 3 火柴棒个数 8 14 20 4 (1）将表格补充完整。 (2）仔细观察，搭 n 条这样的小鱼需要用多少根火柴棒？ (3）算一算，要搭 20 条首尾相连的“小鱼”，共需要多少根火柴棒。 突破训练 1.如图围 1 个正方形要 4 根小棒，围 2 个正方形要 7 根小棒，围 3 个正方形要 10 根 小棒。像这样围 20 个正方形要（ ）根小棒，围 n 个正方形要（ ）根小棒。 2.用小棒按下列方式摆图形，照这样方式摆下去，第 5 个图形用（ 个图形用（ ）根小棒，第 n 个图形用（ ）小棒，第 10 ）根小棒。 3.找规律填空。 1  3  22 ， 1  3  5  32 ＋11＋…＋48＋49=（ ， 1  3  5  7  42 ， 1  3  5  7  9  52 ）2。 4.观察下面点阵图找规律，第 8 个点阵图中有（ A.27 …，则：1＋3＋5＋7＋9 B.25 C.28 ）个点。 D.26 5.用灰、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第 10 个图案 中有（ ）块白色瓷砖。 第1个 A.10 第2个 B.40 第3个 C.42 D.60 6.规定：如图 1 中，方格里的数表示在其周围 8 个方格中共有多少个△。即以“1”为中 心，在它的四周 8 个方格中只能有 1 个△ 以“2”为中心，在它的四周 8 个方格中只能有 2 个△ 以“3”为中心，在它的四周 8 个方格中只能有 3 个△ 以此类推。 按上述规定，在如图 2 中一共可以画 12 个△。现在已经画好了其中的 2 个，请你在 合适的空格中补上其余的 10 个。 参考答案 跟踪训练 知识点 1 找规律 易错点 1 不能正确找到图形中存在的规律。 1.1 2 3 4 5 6 8 7 6 85 2.2 6 12 6 5 30 9 8 72 3.123454321 12345654321 1111111 1111111 4.（1）按以上规律列出第 5 个等式： a = 5 （2） 1 1 1 1 = �(  ) 9 �11 2 9 11 a1  a2  a3  a4  L  a100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ) = �(1  ) ＋ �(  ) ＋ �(  ) …＋ �( 2 3 2 3 5 2 5 7 2 199 201 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +  =        ……2 6 6 10 10 14 14 18 398 398 402 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        ……+  = 2 6 6 10 10 14 14 18 398 398 402 1 1 =  2 402 100 = 201 知识点 2 数图形的个数 易错点 2 因为遗漏而解答错误。 1.C 2.9 7 32 3.33 3n＋1 4.(1)26 (2)(6n+2）个 (3)122 根 突破训练 1.61 3n＋1 2.26 51 5n＋1 3.25 4.A 5.C 6.如图：