组合-组合计数-统计与概率-3 星题 课程目标 知识点 统计与概率 考试要求 B 具体要求 1.了解统计与概率的概念。 2.熟悉并掌握概率的计算。 考察频率 少考 知识提要 统计与概率  统计的概念 统计有“合计，总计”的意思．指对某一现象有关的数据的搜集，整理，计算，分析，解释，  表述等活动． 概率的概念 概率，又称机率（几率），它是概率论的基本概念．概率是对随机事件发生的可能性的度 量，一般以一个在 0 到 1 之间的数表示一个事件发生的可能性的大小．越接近 1 ，该事件更可能发生；越接近 0 ，则该事件更不可能发生，这是客观论证，而非  主观验证． 古典概型的定义 如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现 的可能性是一样的，这样的试验成为古典试验． A ，它的概率定义为： P( A)= 对于古典试验中的事件 n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目， m m ， 0 ≦ P( A)≥1 ，其中： n 表示事件 A 包含的试验 基本结果数．  其中的 m 和 n 需要结合常用的计数方法，例如枚举、加乘原理、排列组合等求出． 相互独立事件、对立事件和对立事件 A 相互独立事件：事件 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件 为独立事件，那么 A 和 叫做相互独立事件． 如果事件 A 和 B B 都发生的概率等于事件 A B 发生的概率与事件 互斥事件：事件 A 发生的概率之积，即： P( A · B)=P( A) P( B) ． 和事件 B 不能同时发生，这样的两个事件叫作互斥事件． 如果事件和为对立事件，那么事件或发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之 和． 对立事件：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件．  P( A)+ P( B)=1 对立事件也可以理解为互斥事件的一种特殊情况． 不确定事件、必然事件和不可能事件 不确定事件：概率论中把在一定条件下可能发生的事件叫做不确定事件，不确定事件发生 0 ∼ 1 之间； 的概率在 必然事件：在一定条件下重复试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫 做必然事件，必然事件的发生概率为 1 ； 不可能事件：概率论中把在一定条件下不可能发生的时间叫做不可能事件，不可能事件的 发生概率为 0 ． 精选例题 统计与概率 1. 某小学六年级有 6 个班，每个班各有 40 名学生．现要在 6 个班中随机选出 2 个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有 1 次抽奖活动，抽取 4 那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为 【答案】 1 60 ． 名幸运观众． 1 【分析】 小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为 乐活动，那么小宝成为幸运观众的概率为 C5 5 1 = = ，如果小宝参加了娱 2 C 6 15 3 4 1 = ，所以小宝成为幸运观众的概率为 40 ×2 20 1 1 1 × = ． 3 20 60 2. 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，每一个小球在交点处有一半的可能 向左滑落，有一半的可能向右滑落．球落到底部 5 个出口的概率从左至右依次是 ． 【答案】 【分析】 1 1 3 1 1 、 、 、 、 16 4 8 4 16 要想知道球落到底部的概率，就要先求出从上到下球落到每一点的概率，故从左 至右落到底部的概率依次为 1 1 3 1 1 、 、 、 、 ． 16 4 8 4 16 3. 有一种骰子是非标准的，其上的点数分别为 这样两个骰子一起投掷一次，点数之和恰好等于 示） 【答案】 5 18 8=2+ 6=3+ 5 ． 【分析】 2 、 6 有 2 种； 3 、 5 有 4 × 2=8 种； 共有 6 ×6=36 种． 2 ， 3 ， 3 ， 5 ， 5 ， 6 ．用 8 概率为 ．（用最简分数表 概率为 2+ 8 5 = 36 18 4. 每场篮球比赛都分为四节，在某场比赛中，加西亚在前两节中投篮 次，在第三节中，他一共投篮 10 次，但命中率有所下降，只有前两节总体命中率的 50 ，在最后一节中，命中率有所回升，比第三节提高了 那么，加西亚在第四节一共投中 【答案】 【分析】 20 次，命中 12 1 ，最后全场命中率为 46 ． 3 次． 8 方法一：解：设第四节投中 四次的命中率为 x 次．则第三次的命中率为 12 4 ×50 × =40 ，那么第四次投了 20 3 12 ×50 =30 ，第 20 5 x ÷ 40 = x ．根据条件可得方程 2 12+10 ×30 + x =46 5 20+10+ x 2 解得 x=8 12 ×100 =60 ，第三次的命中率为 20 三角求出前三节命中率为 50 ； 方法二：前两次命中率为 用浓度三角求出第四节共比赛的 20 场； 12 ×50 =30 ，用浓度 20 第四场共投中 2 20 × =8(场). 5 5. 两个标准骰子一起投掷 率）为 【答案】 【分析】 2 次，点数之和第一次为 7 ，第二次为 10 的可能性（概 （用分数表示）． 1 72 两个骰子一起投有 6×6=36（种）可能，和为 1+6=2+ 5=3+ 4=4 +3=5+ 2=6+1=7, 共 6 种可能，所以和为 7 的概率为 1 6 ÷ 36= ; 6 和为 10 有 4 +6=5+5=6 +4=10, 共有 3 种可能，所以和为 10 的概率为 1 3 ÷26= , 12 故第一次和为 7 ，第二次和为 10 的概率为 1 1 1 × = . 6 12 72 6. 扔硬币时，正面朝上的可能性为 上． ；若扔 7 有 100 次，大约有 次正面朝 1 ；（2） 50 2 【答案】 （1） 【分析】 （1）扔硬币时，会出现正面朝上或反面朝上 性为 1 ； 2 （2）因为正面朝上的可能性为 2 种情况，所以正面朝上的可能 1 1 ，所以若扔 100 次，大约有 100 × =50 (次) 2 2 正面朝上． 7. 如图， A 、 B 盘的盘面各被四等分和五等分，并且分别标有数字，两盘各自按不同 的速度绕盘心转动，若指针指向 则两位数 【答案】 【分析】 ab A 是质数的概率为 盘的数字是 a ，指针指向 B 盘的数字是 b ， ． 35 组成的两位数一共有 4 × 5=20 种 , 其中质数有 11 、 13 、 17 、 23 、 31 、 37 、 53 共 7 个，所以 7 ÷ 20× 100 ＝35 . 8. 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次， ⋯⋯ ，这样轮流掷下去． 若约翰连续两次掷得的结果相同，则记 果中至少有 1 次硬币的正面向上，则记 1 分，否则记 0 分．谁先记满 10 分谁 就赢． 【答案】 1 分，否则记 0 分．若汤姆连续两次掷得的结 赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）． 汤姆 1 1 1 1 1 × + × = ； 2 2 2 2 2 1 1 3 至少有一次正面向上的概率为 1− × = ； 2 2 4 【分析】 两次结果相同的概率为 所以汤姆赢的可能性较大． 9. 气象台预报“本市明天降水概率是 80 ”．对此信息，下列说法中正确的是 ． （填序号） ① 本市明天将有 80 的地区降水． ② 本市明天将有 80 的时间降水． ③ 明天肯定下雨． ④ 明天降水的可能性比较大． 【答案】 ④ 【分析】 降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间． 80 的概率也不是指肯定下雨， 100 的概率才是肯定下雨． 80 的概率是说明有比较大的可能性下雨． 10. 有 5 个同学在一起，小亮的年龄不是最小的，那么小亮年龄最大的可能性是 ． 25 【答案】 【分析】 在小亮的年龄不是最小的前提下，小亮的年龄可能是第 1 ，第 2 ，第 3 ， 第 4 ，这四个事件是互斥的等概率事件，所以小亮年龄最大的可能性是 1÷ 4=25 ． 11. 将编号依次为 1,2,3,4 的四个同样的小球放进一个不透明的袋子中，摇匀后甲、乙二人 做如下游戏：每人从袋子中各摸出一个球，然后将这两个球上的数字相乘，若积为奇数，则甲 获胜；若积为偶数，则乙获胜．请问：在这样的游戏规则下，乙获胜的概率为 5 6 【答案】 【分析】 ． 只有两个数都是奇数，乘积才是奇数，所以 获胜的概率为 1 5 1− = ． 6 6 1 1 1 × = 2 3 6 的可能是奇数，所以乙 12. 一个小方木块的六个面上分别写有数字 2,3,5,6,7,9 ．小光、小亮二人随意往桌面上扔 放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得 果朝上的一面写的奇数，得 【答案】 小亮 【分析】 更大． 偶数有 1 分．每人扔 100 次， 1 分．当小亮扔时，如 得分高的可能性最大． 2 、 6 ，奇数有 3 、 5 、 7 、 9 ，所以小亮得分的可能性 13. 两个标准骰子一起投掷 1 次，点数之和恰好为 10 的可能性（概率）为 （用分数表示）． 【答案】 1 12 【分析】 一个骰子的点数有 6 种情况 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ．那么 两个骰子的点数之和一共有 6 ×6=36 种情况，并且点数和为 10 的有： 4 +6 ， 5+5 ， 6+ 4 这 3 种情况，那么点数之和恰好为 10 的概率是 14. 一个高尔夫球打到半径为 12 米的圆形果岭区域．假设高尔夫球落在该区域内各点的机 会是均等的，而球洞离该区域的边缘至少为 1 米的可能性是 3 1 = ． 36 12 ． 1 米，那么球的着地点与球洞的距离小于 1 144 【答案】 【分析】 以球洞为圆心， 1 1 ． 144 则可能性为 米为半径的圆，面积为 π ，果岭区域面积为 144 π ， 15. 两个立方体骰子上面的点数设置是非标准的，其中一个是 1,2,2,5,5,5, 另一个是 1,1,2,4,5,5. 用这样两个筛子一起投掷一次，点数之和恰好等于 6 的可能性（概率）为 （用最简分数表示）． 5 18 【答案】 【分析】 两个骰子一起投掷一次共有： 6 ×6=36(种) 其中和为 6 的情况有： (1,5)(1,5)(2,4)(2,4)(5,1)(5,1)(5,1)(5,1)(5,