第十五讲 组合图形面积（二） 第一部分：趣味数学 梯形面积 今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 赏析：邪田即直角梯形。最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。“邪田术曰：并两 斜而半之，以乘正从若广”。也就是说，直角梯形的面积等于两底和的一半与高的乘积。刘徽 注称：“并而半之者，以盈补虚也。”同样根据“出入相补”原理、采用“以盈补虚”的方法可将直 角梯形化为与之等积的长方形，再利用“方田术”计算其面积。 解答：根据梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，得出 （30+42）×64÷2 =72×64÷2 =2304（步） 第二部分：奥数小练 一、知识要点 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一 是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从 下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 二、精讲精练 【例题 1】 一个等腰直角三角形，最长的边是 12 厘米，这个三角形的面积是多少平方 厘米？ 【思路导航】 由于此三角形中只知道最长的边是 12 厘米，所以，不能用三角形的面积 公式来计算它的面积。我们可以假设有 4 个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这 个正方形的面积是 12×12.那么，一个三角形的面积就是 12×12÷4=36 平方厘米。 练习一：1.求图（1）四边形 ABCD 的面积。（单位：厘米） 2.已知图（2）正方形 ABCD 的边长是 7 厘米，求正方形 EFGH 的面积。 图（1） 图（2） 3. 有一个梯形，它的上底是 5 厘米，下底 7 厘米。如果只把上底增加 3 厘米，那么面 积就增加 4.5 平方厘米。求原来梯形的面积。 【例题 2】 如图：正方形中套着一个长方形，正方形的边长是 12 厘米，长方形的四个 角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的 2 倍。求中间长方形的面积。 【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可 拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是 12÷（1＋2）=4（厘米）和 4×2=8（厘 米）。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即： 12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米） 练习二： 1.如图（1），已知大正方形的边长是 12 厘米，求中间最小正方形的面积。 2.如图（2），长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米，E、F 都是所在边的中点，求三角 形 AEF 的面积。 3.求下图（3）长方形 ABCD 的面积（单位：厘米）。 图（1） 图（2） 图（3） 【例题 3】 四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，已知三角形 AFH 的面积是 7 平 方厘米。三角形 CDH 的面积是多少平方厘米？ 【思路导航】设大正方形的边长是 a，小正方形的边长是 b。 （1）梯形 EFAD 的面积是（a+b）×b÷2.三角形 EFC 的面积也是（a+b）×b÷2。所 以，两者的面积相等。 （2）因为三角形 AFH 的面积=梯形 EFAD 的面积－梯形 EFHD 的面积，而三角形 CDH 的面积=三角形 EFC 的面积－梯形 EFHD 的面积，所以，三角形 CDH 的面积与三角形 AFH 的面积相等，也是 7 平方厘米。 练习三： 1.图（1）中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，求阴影部分的面积。 2.下图（2）中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3.下图（3）中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？ 乙 图（1） 图（2） 甲 图（3） 【例题 4】 下图中正方形的边长为 8 厘米，CE 为 20 厘米，梯形 BCDF 的面积是多少 平方厘米？ 【思路导航】要求梯形的面积，关键是要求出上底 FD 的长度。连接 FC 后就能得到一 个三角形 EFC，用三角形 EBC 的面积减去三角形 FBC 的面积就能得到三角形 EFC 的面积： 8×20÷2－8×8÷2=48 平方厘米。FD=48×2÷20=4.8 厘米，所求梯形的面积就是（4.8 ＋8）×8÷2=51.2 平方厘米。 练习四： 1.如下图（1），正方形 ABCD 中，AB=4 厘米，EC=10 厘米，求阴影部分的面积。 2.如图（2），在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正 方形的面积是多少？（单位：厘米） 3.图（3）中，BC=10 厘米，EC=8 厘米，且阴影部分面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米。求平行四边形的面积。 图（1） 图（2） 图（3） 【例题 5】 图中 ABCD 是长方形，三角形 EFD 的面积比三角形 ABF 的面积大 6 平方厘 米，求 ED 的长。 【思路导航】因为三角形 EFD 的面积比三角形 ABF 的面积大 6 平方厘米，所以，三角 形 BCE 的面积比长方形 ABCD 的面积大 6 平方厘米。三角形 BCE 的面积是 6×4＋6=30 平 方厘米，EC 的长则是 30×2÷6=10 厘米。因此，ED 的长是 10－4=6 厘米。 练习五： 1.如图（1），平行四边形 BCEF 中，BC=8 厘米，直角三角形中，AC=10 厘米，阴影 部分面积比三角形 ADH 的面积大 8 平方厘米。求 AH 长多少厘米？ 2.图（2）中，三个正方形的边长分别是 1 厘米、2 厘米和 3 厘米，求图中阴影部分的面 积。 3.正方形的边长是 2(a+b)，已知图（3）中阴影部分 B 的面积是 7 平方厘米，求阴影部 分 A 和 C 的和是多少平方厘米？ 图（1） 图（2） 图（3） 第三部分：数学史话 动物中的数学“天才” 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱 锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘 的菱形的钝角为 109 度 28 分，所有的锐角为 70 度 32 分， 这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚 0.073 毫米，误差极小。 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是 110 度。 更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半──即每 边与鹤群前进方向的夹角为 54 度 44 分 8 秒！而金刚石结晶体的角度正好也是 54 度 44 分 8 秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？ 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复 规也很难画出像蜘蛛网 杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆 那样匀称的图案。 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学， 因为球形使身 体的表面积最小，从而散发的热量也最少。 真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上 记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出 365 条 斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现 3 亿 5 千万年前的珊瑚虫每年“画”出 400 幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅 21.9 小时，一年不是 365 天，而是 400 天。 参考答案： 练习一： 1.20 平方厘米 2.24.5 平方厘米 3.18 平方厘米 练习二： 1.36 平方厘米 2.6 平方厘米 3.48 平方厘米 练习三： 1.18 平方厘米 2.20 平方厘米 3.8 平方厘米 练习四： 1.3.2 平方厘米 2.64 平方厘米 3.50 平方厘米 练习五： 1.4 厘米 2.6 平方厘米 3.7 平方厘米