几何-直线型几何-毕克定理-4 星题 课程目标 知识点 毕克定理 考试要求 B 具体要求 1.了解格点图形的概念。 2.熟悉毕克定理并且能够应用毕克 定理解决相关的格点面积。 考察频率 少考 知识提要 毕克定理  概念  格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上． 正方形格点和毕克定理 一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”． 水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”．  毕克定理： L S=N + −1 2 其中， N 表示多边形内部格点数， L 表示多边形边界上的格点数， S 表示多边 表示多边形边界上的格点数， S 表示多边 形的面积． 三角形毕克定理 L 1 S=(N + −1) ×2=2 N + L− 2 2 其中， N 形的面积． 表示多边形内部格点数， L 精选例题 毕克定理 1. 在平面上，用边长为 1 的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点 （又称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去 三个顶点之外．内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形．如右图所示的格点三 角形 BR S ．每一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形．那么，右 图中的格点六边形 【答案】 【分析】 EFGHKB 可以划分为 个本原格点三角形． 36 根据格点面积公式： 格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数 ÷ 2−1, 可得面积： 15+8 ÷ 2+ 1=18, 每个本原格点三角形最小面积是 1 1 1× 1× = , 2 2 所以可以划分为本原格点三角形的个数为 1 18 ÷ =36(个). 2 2. 下图中正六边形的面积为 D 是 BC 【答案】 5 24 平方米，其中 的三等分点，阴影部分的面积是 A 、 B 、 C 都是所在边的中点， 平方米． 【分析】 将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成 24 个面积为 1 平方米的 正三角形，根据毕克公式，内部点 n=2 ，边上点 b=3 ，则阴影的面积为： (2+3 ÷ 2−1) ×2=5 （平方米）． 3. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是 1 ，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】 17 根据毕克定理，正方形格点图算面积： 面积=内部点+ 边界点÷ 2−1. 内部点： 8 个； 边界点： 20 个； 所以面积： 8+20 ÷ 2−1=17. 4. 如下图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红 鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影 的面积为 平方厘米． 【答案】 56.5 【分析】 通过分割和格点面积公式可得小马总面积为 56.5 平方厘米． 5. 如图相邻两个格点间的距离是 【答案】 12 11 【分析】 连接 56.5 个正方形，即面积为 1 ，则图中阴影三角形的面积为 AD 、 CD 、 BC ． ． 则可根据格点面积公式，可以得到 △ ABC 4 1+ −1=2, 2 △ ACD 的面积为： 3 3+ −1=3.5, 2 △ ABD 的面积为： 4 2+ −1=3. 2 的面积为： 所以 BO :OD ¿ S △ AB C :S △ ACD ¿ 2: 3.5 ¿ ¿ 4 :7, 所以 ¿ S △ ABO 4 4 × S △ ABD ¿ ×3 4+7 11 12 ¿ ¿ . 11 6. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是 积是 23 ，求五边形 EFGHI 的面积． m ，若四边形 ABCD 的面 【答案】 【分析】 28 根据毕克定理： S=a+b ÷ 2−1, 有 2 (10+5 ÷ 2−1)× m =23, 有 2 m =2 ; EFGHI 的面积是 (12+6 ÷ 2−1)× 2=28. 所以五边形 7. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为 1 ，请求出图形的面积是多 少？ 【答案】 21 【分析】 方法一：利用割补，图中长方形的面积是 2× 6=12 ，左边三角形我们可以把 它包含在一个 4 × 4 的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角 形面积是 4 × 4−3 × 4 ÷ 2−1 ×2 ÷ 2−2 ×4 ÷2=5 ，右边三角形同理包含在一个 4 × 5 的长方形中，所以右边三角形的面积是 4 × 5− (1+5 ) × 4 ÷ 2−4 ×1 ÷ 2−4 ×1 ÷2=4 ，所 以礼盒的总面积是 12+5+4=21 ． 方法二：利用毕克定理，略． 8. 如图，计算图形面积是多少？（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 【答案】 1 的等边三角形） 12 方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形 ABC 和 ABD ， 是单位三角形 CEF 面积的 4 倍，从而面积是 4 ．同理 ABD 的面积 是单位三角形 CEF 的 8 倍，所以面积是 8 ，因此四边形面积是 4 +8=12 ． 【分析】 ABC ( L 2 ) 方法二：利用三角形毕克定理： S= N + −1 ×2 ， N :5 是 个， L: 4 ( 5+4 ÷2−1 ) × 2=12 ． 9. 已知相邻两个格点距离为 1 ，求下列各个格点多边形的面积是多少？ 个，所以面积 15 ； 20 【答案】 利用毕克定理，图（1） N :10 个， L:12 个，面积是 10+12÷ 2−1=15 ； 图（2） N :16 ， L: 10 ，面积是 16+10 ÷ 2−1=20 ． 【分析】 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算 10. 如图，有 三角形 【答案】 【分析】 ABC 10 的面积是多少？ △≝¿=1 ， S △ ACD =2 ， S¿ S △ AEB=3 ， S △ FBC =4 ，所以 S △ ABC =1+2+3+ 4=10 ． 4 方法二：毕克定理， N : 4 个， L: 4 个，所以 S △ ABC = 4 + −1 ×2=10 ． 2 ABC 方法一：利用割补，将 分割成四个三角形，易得 ( 1 平方厘米．四边形 11. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是 EFG 【答案】 【分析】 ) ABCD 和三角形 的面积分别是多少平方厘米？ 20 平方厘米， 10 平方厘米 四边形 ABCD 中， N : 9 个， L: 4 个，毕克定理可知 4 S 四边形 ABCD= 9+ −1 × 2=20( 平方厘米); 2 在三角形 EFG 中， N : 4 个， L: 4 个， 4 S 三角形 EFG = 4+ −1 × 2=10( 平方厘米). 2 ( ( ) ) 12. 如图，每一个小方格的面积都是 方厘米？ 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平 【答案】 【分析】 6.5 L 2 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式： (N + −1)×单位正方形面积 ， 其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数． 有 N=4 ， L=7 ，则用粗线围成图形的面积为： 7 (4 + −1)×1=6.5( 平方厘米) 2 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积， 有 ①=3 ÷2=1.5 ②=2÷ 2=1 ③=2 ÷2=1 ④=2 ÷ 2=1 ⑤=2÷ 2=1 ⑥=2 ÷2=1 还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l +1+1+ 1+ 1+ 3=9.5, 而整个格点阵所围成的图形的面积为 16 ，所以粗线围成的图形的面积为： 16−9.5=6.5 (平方厘米). 13. 如图，每个小正方形的面积均为 【答案】 【分析】 2 平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？ 19 平方厘米 阴影部分的面积为： (7+ 72 −1)× 2=19(平方厘米) 14. 计算下面各图形面积是多少？（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 ． 1 的等边三角形） 【答案】 22 ； 23 利用毕克定理．图（1）， N :7 个， L:10 个， S=( 7+10÷ 2−1 ) × 2=22 ； 图（2）， N :5 ， L:15 ， S=( 5+15 ÷ 2−1 ) ×2=23 ． 【分析】 15. 求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 【答案】 1 的等边三角形）． 19 ； 19 ； 18 ； 21 【分析】 方法一：分割法，略． 方法二：毕克定理，图（1） N :7 个， L:7 个， S=( 7+ 7 ÷2−1 ) × 2=19 ； 图（2） N : 8 个， L:5 个， S=( 8+ 5÷ 2−1 ) × 2=19 ； 图（3） N :7 个， L:6 个， S=( 7+ 6 ÷2−1 ) × 2=18 ； 图（4） N : 8 个， L:7 个， S=( 8+ 7 ÷2−1 ) × 2=21 ． 16. 如图，中相邻两个格点的距离都是 1 ，图中三个图形的面积分别是多少？ 3 ； 11 ； 5.5 【答案】 【分析】 方法一：利用割补，第一个图“喇叭”的面积是 第三个图“猫”的面积是 5.5 ． 方法二：利用毕克定理， S=N + 形周界上的格点， S L −1 ．用 2 N 3 ；第二个图“狗”的面积是 11 ； 表示多边形内部格点， L 表示多边 表示多边形面积． ¿ 内部点 边上点 正方形个数 +8 ÷ 2−1=3 ¿ 狗 ¿ 2¿ 20 ¿ 2+20 ÷ 2−1=11 ¿ 猫 ¿ 0 ¿ 13 ¿ 0+13÷ 2−1=5.5 ¿ 喇叭 0 8 17. 计算图形面积是多少？（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 24 【答案】 【分析】 1 的等边三角形） 利用毕克定理． N : 8 个， L:10 18. 如图，如果每一个小三角形的面积是 少平方厘米？ 个， S=( 8+ 10÷ 2−1 ) × 2=24 ． 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多 【答案】 【分析】 20 方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： (2 N + L−2)× 单位正三角形面积 其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数． 有 N=9 ， L=4 ，所以