第 17 讲 不定方程 知识与方法 1、不定方程，是指未知数的个数多于方程个数 ，且未知数受到某些限制的方 程或方程组。 2、解不 定方程的一般方法有： ① 尝试法； ② 奇偶分析法； ③ 尾数分析法（如 5 的倍数的个位只能是 0 或 5）。 ④ 倍数分析法。 ⑤ 整除性分析法。 初级挑战 1 下列方程，哪些的解是唯一的？哪些是不唯一的？不唯一的请找出至少两组的 解。 ① 3 x＋ 2＝ 8 ② 5 y－5＝3 y ＋5 ③ x＋2 y ＝5 思维点拨： 我们已经学过只含有一个未知数的方程，题目中很容易得出①和②的解是唯一 的。只有③中的方程含有两个未知数。所以③的解不是唯一的。可通过尝试法， 先设定 x 的值，再求出 y 的值。 答案：①②的解唯一，③的解不唯一，有： 唯一）。 x ＝1 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x＝2 y ＝ 1 .5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ……（答案不 能力探索 1 请找出下列方程的解,每个至少写两组。 ① 3 x＋2 y ＝23 ② a ＋ 2b ＝ 7 答案： ① 解： ② 解： x ＝1 y ＝ 10 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ a＝1 b ＝3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x ＝2 y＝8.5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， ， a ＝2 b ＝2 . 5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ （答案 不唯一）。 （答案不唯一）。 初级挑战 2 若 2x ＋3 y ＝20 ，且 x、 y 均为非零自然数，求 x、 y 的所有解。 思维点拨： 要求 x、 y 均为非零自然数，即 x、 y 取大于 0 的整数，可通过尝试法，从 x 最小取值开始试起，注意不遗漏不重复。 答案：解： x＝1 y＝6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝4 y＝4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝7 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 能力探索 2 [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 若 3 x＋4 y ＝23 ，且 x、 y 均为非零自然数，求 x、 y 的所有解。 答案： 尝试法得： x ＝1 y＝5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝5 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 中级挑战 1 若 2x ＋9 y ＝40 ，且 x、 y 均为非 零 自然数，求 x、 y 的所 有解。 思维点拨： 观察发现 2x 是偶数，40 也是偶数，那么 9 y 肯定也是偶数，即 y 必 须是偶数。那么 y 只能为 2 或 4。这就是奇偶分析法，大大缩小了取值范围， 提高了解题速度。 答案：解： x ＝ 11 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x＝2 y＝4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 能力探索 3 若 7 x＋4 y ＝27 ，且 x、 y 均为非零自然数，求 x、 y 。 答案：奇偶分析法， 必须是奇数。那么 x 4 y 是偶数，27 是奇数，那么 7 x 肯定是奇数，即 只能为 1 或 3 。得： x ＝1 y＝5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x 。 中级挑战 2 已知 x 、 y 均为大于 0 的自然数，且 5 x＋6 y＝28 ，求 x 、 y 的值。 思维点拨： 尾数分析法：5 的倍数末尾要么是 0，要么是 5，所以 5 x 的末尾只有两种情 况，而和是 28，末尾是 8，因此 数，所以只可能末尾是 8。 6 y 的末尾要么是 8，要么是 3， 6 y 是偶 答案：解： x＝2 y＝3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 [来源:Zxxk.Com] 能力探索 4 1、已知 x 、 y 为大于 0 的自然数，求满足 2x ＋5 y ＝16 的所 有 x 、 y 的值。 答案：尾数分析法。 5 y 的个位是 0 或 5，所以 2 x 的个位是 6 或 1， 2 x 是偶数，个位不可能是 1，那么 2 x 的个位只能是 6。那么 x ＝3 或 8，当 x ＝8 时， y ＝0 不符合要求，所以只有一组解： x ＝3 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 2、已知 x 、 y 为自然数，求满足 10 x＋3 y ＝45 的所有 x 、 y 的值。 答案：尾数分析法。 15，所以解为： 10 x 的个位是 0，所以 3 y 的个位是 5，那么 y ＝5 或 x ＝3 y＝5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 或 x ＝0 y ＝ 15 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 聪明泉 数学家朱世杰 朱世杰（公元 1300 年前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附 近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四 元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉 鉴》（1303）。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、 日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标 志，其中最 杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶 等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。 拓展挑战 已知 x 、 y 为非零自然数，求下列方程的解。 ① x＋2 y ＝8 ② 0.25 x ＋0.5 y＝2 ③ 10 x＋20 y ＝80 思维点拨： 观察这三式，发现②式是①式左右两边同时缩小 4 倍而来，③式是①式左右两 边同时扩大 10 倍而来。根据等式的性质， 个即可。解得： x＝2 y＝3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x＝4 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x ， x ＝6 y＝1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 、 y 的取值相同，因此求出一 。 能力探索 5 1、下列方程的解与 A、 C、 2x ＋3 y ＝12 相同的是（ 2x ＋6 y ＝24 B、 4 x ＋6 y ＝12 D、 ） x＋6 y＝12 6 x＋9 y＝36 答案： D 2、求下列不定方程的解（ x、 y 为非零自然数 ）。 （1） 30 x＋10 y ＝180 3 x＋ y＝18 ， 答案：（1）化简得 解得： （2） 1.5 x＋1.2 y＝10.8 x ＝1 y ＝ 15 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝2 y ＝ 12 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ （2）等式两边同时乘以 10，得 x ＝4 y＝4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 5 x＋4 y ＝36 ，解得： [来源:学#科#网 Z#X#X#K] ， x ＝3 y＝9 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x＝4 y＝6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， 15 x＋12 y ＝108 。 答案：解： 2、已知 5 x＋2 y ＝14 的两组以上的解。 x ＝0 y＝7 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x、 y ， x ＝2 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 为自然数，求 。（答案不唯一） 2x ＋3 y ＝16 的解。 答案：奇偶分析法， y 是偶数。 解得： 3、已知 x、 y x ＝8 y＝0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝5 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， 为非零自然数，求 x＝2 y＝4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 3 x＋5 y ＝45 的解。 答案：尾数分析法， 3 x 的个位是 5 或 0。 解得： x ＝5 y＝6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝ 10 y ＝3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 [来源:学§科§网] 4、求满足 。 ，等式两边再同时除以 3，得 课堂小测： 1、请写出方程 ， x ＝5 y＝3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 40 x＋36 y ＝260 ，且 x、 y 为自然数的解。 答案：化 简得： 10 x＋9 y＝65 ，解得： x ＝2 y＝5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 课后作业 1、若 7 x＋3 y＝57 ，且 x、 y 均为非零自然数，求 x、 y 。 答案：尝试法，解得： 2、求满足 x ＝3 y ＝ 12 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ， x ＝6 y＝5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。 2x ＋3 y ＝18 的解。（ x、 y 是非零自然数） 答案：奇偶分析法， y 是偶数。 解得： x ＝6 y＝2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿  x＝ 3 ，  y＝ 4 。 3、已知 x、 y 为自然数，求 [来源:学科网 ZXXK] 7 x＋5 y＝64 的解。  x＝ 2 答案：尾 数分析法， 7 x 的尾数是 4 或 9，解得：  y＝ 10 ， x ＝7 y＝3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 。