六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-同余定理 【知识点归纳】 所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数 d 去除，有相同的余数．d 数学上的称谓为模． 如 a=6，b=1，d=5，则我们说 a 和 b 是模 d 同余的．因为他们都有相同的余数 1． 【经典题型】 例 1：一个两位数，除以 3 余 1，除以 5 余 3，这个两位数最大是（　　） A、78 B、88 C、98 D、90 分析：除以 3 余 1，除以 5 余 3，那么这个数不是 3 和 5 的倍数；由此用排除法求解． 解：除以 3 余 1，除以 5 余 3，那么这个数不是 3 和 5 的倍数； A、7+8=15；15 是 3 的倍数，所以 78 是 3 的倍数，故 A 错误； D、5 的倍数的个位数都是 0 或 5 的整数，90 的个位数字是 0，那么是 5 的倍数，故 D 错误； BC、而这个数的末尾应是 3 或 8；B 和 C 都符合，只要再看哪个数除以 3 余 1 即可． 88÷3=29…1； 98÷3=32…2； 88 除以 3 余 1，所以 88 符合要求． 故选：B． 点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解． 例 2：有一整数，除 300，262，205 得到的余数相同，这个整数是（ ）． 分析：这个数除 300、262，得到相同的余数，所以这个数整除 300-262=38，同理，这个数整除 262-205=57 以及 300-205=95，因此，求出 38、57、95 的最大公约数 1 即是所求结论． 解：300-262=38，2 62-205=57， 300-205=95． 38，57，95 的最大公约数是 19．这个整数是 19． 故答案为：19． 【解题方法点拨】 同余式定律 6 的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被 3 整除那么这个数也能被 3 整除， 如 12，因为 1+2=3 能被 3 整除，所以 12 也能被 3 整除．如果我们利用定律 6，就可以找出任何一 个数能被另一个数整除的表达式来． 如我们用 11 来试试，11 可以表示为 10+1，所以有同余式： 10≡-1 （mod 11） 把上式两边都乘以各自，即： 10×10≡（-1）（-1）=1 （mod 11） 10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11） 10×10×10×10≡1 （mod 11） 我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数 如果它的数码交替到变号之和能被 11 整除，这个数就能被 11 整除，如 1353 这个数它的数码交 替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为 0 能被 11 整除，所以 1353 也能被 11 整除．其他的 数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可． 一．选择题 1．一箱桃子有 40 多个，如果把这箱桃子每 8 个装一盒，还剩 5 个；如果每 10 个装一盒，也剩余 5 个，这箱桃子有（　　）个。 A．40 B．45 C．48 2．一堆彩色玻璃球，二个二个一数余 1 个，三个三个一数余 1 个，五个五个一数也余 1 个，则这一 堆玻璃球至少有（　　）个． A．11 B．16 C．21 D．31 二．填空题 3．A÷2＝c……1，A÷3＝d……1，A÷5＝e……1，c，d、e 均为非零自然数，则 A 最小是　 　。 4．某民兵连在操场上列队，只知道人数在 90～110 之间，排成三列无余，排成五列不足 2 人，排成 七列不足 4 人，共有民兵　 　人． 5．已知 69、90、125、被 N 除，余数相同（不为 0），那么 81 被 N 除余数是　 　． 6．一个数去除 68、131、250 所得的余数相同，这个数应是　 　． 7．有甲、乙、丙、丁四个数．甲数除以 4 商 2011 余 2，乙数除以 8 商 2011 余 4，丙数除以 12 商 2011 余 6，丁数除以 16 商 2011 余 8．那么甲、乙、丙、丁四个数的总和除以 4 的商是　 　． 8．六（1）班同学分组游戏，每组 3 人多 1 人，每组 4 人少 3 人，每组 5 人少 4 人，这个班至少有 人． 9．小丽有一些画片，比 20 张多，比 40 张少，如果按 5 张一组来数，剩 4 张；如果按 3 张一组来数， 剩 1 张．小丽有画片　 　张． 10．有一个不等于 1 的正整数，除 1773、1888、1957、2003，得到相同的余数，则这个正整数是 ． 三．应用题 11．一堆苹果不少于 10 个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两个，这堆苹果最少 有多少个？ 12．某个大于 1 的整数除 41、11 得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 四．解答题 13．用 151、197、238 分别除以同一个整数，所得 3 个余数的和是 31，这个整数是几？ 14．某数被 7 除余 1，被 4 除余 3，求：（1）满足条件的最小整数；（2）100 以内满足条件的所有 这些数． 15．在小于 1000 的自然数中，除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的最大的自然数是几？ 16．有一个不等于 1 的整数，它除 967，1000，2001 得到相同的余数，那么这个整数是多少？ 17．动物宾馆来了不足 30 只小动物，每 4 只住一间或 6 只住一间最后都会余 3 只住一间，想一想， 动物宾馆来了几只小动物？ 18．一堆糖，第一次把它五等份后剩 1 块，第二次把其中的四份再五等份后还剩 1 块，第三次把第 二次中的三份再五等份后还剩 1 块，第四次把第三次中的二份再五等份后还剩 1 块，这堆糖至少 有多少块？ 19．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客 69 人、85 人、93 人、97 人．现在要把这四个旅行团分 别进行分组，使每组都是 A 名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每 组 A 人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组 A 人的若干组后还剩几人？ 20．有一个大于 1 的整数，除 45，59，101 所得的余数相同，求这个数． 六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-同余定理 参考答案 一．选择题 1．解：8 和 10 的最小公倍数为 40， 40+5＝45（个） 符合题意。 答：这箱桃子有 45 个。 答案：B。 2．解：2、3、5 是互质数，它们的最小公倍数是： 2×3×5＝30； 玻璃球的个数就是 30+1＝31（个）； 答：这一堆玻璃球至少有 31 个． 答案：D． 二．填空题 3．解：2，3，5 的最小公倍数是： 2×3×5＝30 则 A＝30+1＝31。 答案：31。 4．解：这个数减去 3 后，既能被 3 整除，又能被 5 整除，还能被 7 整除， 所以总人数是： 3×5×7+3 ＝105+3 ＝108（人）． 答：共有民兵 108 人． 答案：108． 5．解：根据分析可得， 90﹣69＝21＝3×7， 125﹣69＝56＝8×7， 125﹣90＝35＝5×7， 所以 N＝7， 那么：81÷7＝11…4， 答案：4． 6．解：131﹣68＝63＝3×3×7， 250﹣131＝119＝17×7， 250﹣68＝182＝2×13×7； 所以这个整数为三个差的公有因数：7； 答：这个整数为 7． 答案：7． 7．解：（2011×4+2+2011×8+4+2011×12+6+2011×16+8）÷4 ＝[（2011×4+2011×4×2+2011×4×3+2011×4×4）+（2+4+6+8）]÷4 ＝[2011×（1+2+3+4）×4+5×4]÷4 ＝2011×10+5 ＝20110+5 ＝20115． 答：商是 20115． 答案：20115． 8．解：因为 3、4、5 两两互质，所以 3、4、5 的最小公倍数是： 3×4×5＝60 60+1＝61 答：这个班至少有 61 人． 答案：61． 9．解：因为如果按 5 张一组来数，剩 4 张，且图片张数比 20 张多，比 40 张少， 所以这些图片可能有 24，29，34，39 张； 24，39 是 3 的倍数，不符合题意， 29÷3＝9…2，不符合题意； 34÷3＝11…1，符合题意； 答案：34． 10．解：1888﹣1773＝115， 1957﹣1888＝69， 2003﹣1957＝46； （115，69，46）＝23； 23＝1×23，由于该正整数不是 1， 所以它是只能是 23． 答案：23． 三．应用题 11．解：3、4、5 两两互质， 3、4 和 5 的最小公倍数是：3×4×5＝60 60+2＝62（个） 答：这堆苹果最少有 62 个， 12．解：因为这个数除 41、11 得到的余数相等， 那么这个整数是 41﹣11＝30 的因数， 30 大于 1 的因数，即这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30． 答：这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30． 四．解答题 13．解：由题意可得： 151+197+238﹣31＝555 555＝3×5×37 因为 5 做除数余数和最大是 12，不符合题意，15 做除数余数和是 1+2+13＝16，不符合题意， 所以这个数是 37。 答：这个整数是 37。 14．解：根据分析可得， （1）除 1 外最小的能满足被 7 除余 1 的数是 8，但 8÷4＝2，不满足被 4 除余 3，根据同余定理： 被除数加上除数的倍数，再除以除数，余数不变；可得： 8+7＝15，15÷4＝3…3，所以 15 是满足这两个条件的最小整数； （2）4 和 7 的最小公倍数是：4×7＝28， 所以 100 以内满足条件的所有这些数是： 15+28＝43， 15+28×2＝71， 15+28×3＝99； 100 以内的所有满足此条件的数为：15、43、71、99． 15．解：除以 4 余 3，那么这个数是奇数，除以 5 余 2，尾数是 2 或者 7，所以这个数尾数是 7． 小于 1000 的尾数是 7 的比较大的数有：997、987、977、967、957、947… 最大的除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的数刚好是 927． 答：在小于 1000 的自然数中，被 4 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 5 的最大自然数是 927． 16．解：1000﹣967＝33 2001﹣1000＝1001 2001﹣967＝1034 33＝3×11 1001＝7×11×13 1034＝2×11×47 因 33、1001 和 1034 的公因数是 11，所以这个整数是 11． 答：这个整数是 11． 17．解：30 以内，4