第 05 讲 认识方程 知识盘点 一、用字母表示数 1.用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。 2.字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用 小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字 1 与字母相乘时，1 省略不写，字母按顺序写。 如① 5×a=5。a=5a，a×b=ab，1×a=a。 ② 商店运进 n 盒彩笔，共计 20 元，每盒彩笔多少元？列式为 20÷n。 ③ 四(1)班有学生 a 人，其中男生有 27 人，女生有多少人？列式为 a-27。 3.用字母表示有关图形的计算公式: ① 用 C 表示长方形的周长，a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，长方形周 长公式:C=(a+b)×2=2(a+b)。 ② 用 S 表示长方形的面积，a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，长方形面 积公式:S=a×b=ab。 ③ 用 C 表示正方形的周长，a 表示正方形的边长，正方形周长公 式:C=4×a=4a。 ④ 用 S 表示正方形的面积，a 表示正方形的边长，正方形面积公 式:S=a×a=a2。 4.区别 a 的平方和 2 乘 a 的区别:a2=a×a，2a=a+a=2×a。 5.用含有字母的式子表示加法的运算律: ① 加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为 a+b=b+a。 ② 加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变。 用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。 ③ 乘法交换律:两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。用字母表示为 a×b=b×a。 ④ 乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变。 用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 ⑤ 乘法分配律:两个数的和(差)与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘， 再把积相加(减)。用字母表示为(a±b)×c=a×c±b×c。 ⑥ 减法的性质:从一个数中连续减去两个数，等于从这个数中减去两个数的和。 用字母表示为 a-b-c=a-(b+c)。 ⑦ 除法的性质:一个数连续除以两个数，等于用这个数除以两个数的积。用字母 表示为 a÷b÷c=a÷(b×c) 二、等量关系 1.数学术语中的等量关系: 一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍” 等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。 如①某数的 3 倍比这个数的一半大 2，求这个数。 等量关系:这个数÷2+2=这个数的 3 倍 ② 甲队人数比乙队人数的 2 倍少 10 人。 等量关系:乙队人数×2-10=甲队人数 2.常见的数量关系中的等量关系: ① 速度×时间=路程 如已知皮划艇 500 米最好的成绩是 1.65 分，求平均速度。 等量关系:速度×1.65=500 ② 单价×数量=总价 如李乐买了 6 支铅笔花了 18 元，求铅笔的单价。 等量关系:铅笔的单价×6=18 ③ 工作效率×工作时间=工作总量 ④ 增长后的量=原量×(1+增长率) 3.常用的计算公式中的等量关系: ① 正方形周长=边长×4 如已知正方形的周长是 36 米，求边长。 等量关系:边长×4=36 ② 正方形面积=边长×边长 如已知正方形的边长是 8 厘米，求正方形的面积。 等量关系:边长×边长=面积 ③ 长方形周长=(长+宽)×2 如已知长方形的长是 8 厘米，周长是 28 厘米，求宽。 等量关系:(8+宽)×2=28 ④ 长方形面积=长×宽 如已知长方形的长是 7 厘米，面积是 28 厘米，求宽。 等量关系:7×宽=28 三、认识方程 1.方程的含义:含有未知数的等式叫方程。 2.方程必须具备的条件:① 必须是等式;② 必须含有未知数。 如是方程的在后面的括号里面画“”，不是的画“ “✕ “ ”。 x+3x>56(　　)　　　4×14=56(　　) 解析:x+3x>56 虽然含有未知数，但是不是等式，所以不是方程;4×14=56 虽然是等式，但是不含未知数，所以也不是方程。 3.看图列方程: 看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出 方程。如看下图列方程。 60+x=100 4.方程与等式的联系:方程是等式，但等式却不都是方程。 四、解方程(1) 1.列出的方程要满足的条件 ① 未知数写在等号的左边; ② 方程无单位; ③ 等号左右两边是相等的量; ④ 未知数不能单独放在等号的一边。 如大货车每次运货 n 吨，运了 6 次，共运货 42 吨。 列出方程:6n=42 2.等式的性质(一) 等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立。 如 x+50-50=200-50 3.解方程步骤 (1)先写“解”; (2)等号对齐; (3)运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系(“直接想”)解方程; (4)代入检验。 4.解方程的书写格式 (1)解方程前要先写一个“解”字和冒号; (2)一步一脱式，每计算一步，等号都要上、下对齐; (3)表示未知数的字母要放在等号的左侧。 如解方程:x-25=73 解:x-25+25=73+25 x=98 检验:98-25=73，x=98 正确。 5.加、减、乘、除法的变形 (1)加法:a+b=c 则:a=c-b　b=c-a 如 4+5=9，则有 4=9-5，5=9-4。 (2)减法:被减数(a)-减数(b)=差(c) 则被减数(a)=差(c)+减数(b) 被减数(a)-差(c)=减数(b) 如 12-4=8，则有 8+4=12，12-8=4。 (3)乘法:乘数(a)×乘数(b)=积(c) 则乘数(a)=积(c)÷乘数(b)　乘数(b)=积(c)÷乘数(a) 如 3×7=21，则有 3=21÷7，7=21÷3。 (4)除法:被除数(a)÷除数(b)=商(c) 则被除数(a)=商(c)×除数(b)　除数(b)=被除数(a)÷商(c) 如 63÷7=9，则 63=9×7，7=63÷9。 6.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 如解方程:x+9=18 解:x=18-9 x=9 其中 x=9 就是方程 x+9=18 的解。 7.解方程 求方程的解的过程叫做解方程。 五、解方程(2) 1.等式的性质(二) 等式两边都乘(或除以同一个数 0 除外)，等式仍然成立。 如 3x÷3=15÷3　x÷5×5=10×5 2.解形如 ax=c 的方程 如　5x=25 解:5x÷5=25÷5 x=5 典型精讲 知识点一 用字母表示数 1．1 张桌子和 4 把椅子为一套桌椅，1 张桌子的价格为 a 元，1 把椅子的价格为 b 元，求 买 10 套桌椅应付多少元，正确的列式是（ ）。 A．10a＋10b B．10a＋b C．10a＋40b 答案：A 2．一种故事书的单价是 a 元，李老师买了 5 本这样的故事书，用去( 元，应找回( 答案：5a )元。付出 100 )元。 100－5a 3．工地上有 a 吨水泥，每天用 b 吨，用了 c 天后还剩多少吨？ 答案：解：用去的吨数：b×c=bc（吨）， 剩下的吨数：a﹣bc（吨）． 答：用去 c 天后还剩下 a﹣bc 吨． 知识点二 等量关系 1．★、■、●分别表示三种不同的物体，下图中两架天平平衡。如果■重 60 克，●重（ ）克。 A．30 B．90 C．120 D．180 答案：B 2．课内四基达标（找出下面数量间的相等关系） （1）某班男生人数比女生人数多 7 人． （2）篮球的个数是足球个数的 4 倍． （3）梨树比苹果树的 3 倍多 15 棵． （4）买 3 支钢笔比买 5 支圆珠笔多花 1.5 元． （5）两根同样长的铁丝，一根围成正方形，一根围成圆． 答案：（1）男生人数=女生人数+7； （2）篮球的个数=足球个数×4； （3）梨树棵数=苹果数的棵数×3+15； （4）钢笔价格×3=圆珠笔的价格×5+1.5； （5）正方形的周长=圆的周长． 知识点三 方程 1．下列式子中，共有（ ）个是方程。 ①6x＝2；② a＋3c＝b；③ 1＋9＝10；④ 3m－7＜10；⑤ 10m－7＝3m A．2 答案：B B．3 C．4 D．5 2．（1）如下图所示，一架天平的左边托盘中放一个 20 克和一个 30 克的木块，右边托 盘中放一个 50 克的砝码，天平处于平衡状态。请用一个等式表示左右两个托盘中物体的 质量。 （2）如下图所示，一架天平左边托盘中放一个 20 克的木块和一个未知质量(用 x 表示)的 木块，右边托盘中放一个 100 克的砝码，当天平平衡时，请用一个等式表示出来。 答案：（1）20＋30＝50；（2）20＋x＝100 天平平衡，表示左右两盘是相等的，由此根据左右两盘中的数字写出等式即可。 知识点四 解方程（一）和（二） 1．与方程 X－14.2=2.8 的解相同的方程是（ ）。 A．X+2=14 B．17－X=17 C．15+X=32 答案：C 2．如果 3x＝1.5＋10.5，那么 7x－8＝（ ）。 A．20 B．76 C．27 答案：A 3．根据等式性质，在横线上填运算符号，在小括号里填数。 D．13 （1） x  8  90 ， x  8 - 8  90 ________( ) （2） x  38  300 ， x  38  38  300 ________( （3） 27  x  39 ， 27  x  x  39 _______( （4） x  64  23 ， x  64 ______( 答案：- 8 - 38 - ) ) )=23_______( ) x + 64 + 64 4．爷爷今年的年龄比淘气年龄的 6 倍还大 3 岁，爷爷今年 57 岁，淘气今年多少岁？（列 方程解答） 答案：9 岁 解：设淘气今年 x 岁。 6x＋3＝57 6x＋3－3＝57－3 6x＝54 6x÷6＝54÷6 x＝9 答：淘气今年 9 岁。 5．妈妈给了小红 20 元钱，小红买了一双鞋子花了 18 元。身上还剩下 15 元，小红身上 原有多少元？ 答案：13 元 解：设小红身上原有 x 元。 x  20  18  15 x  13 答：小红身上原有 13 元。 知识点五 猜数游戏 1．1.5 比 3 的 x 倍少 2.7，下列方程正确的是(　　)． A．1.5＋3x＝2.7 B．3x－1.