专题四：电磁感应中的动力学问题 课后练 1. 如图所示，在平行于水平地面的匀强磁场上方有三个线圈，从相同的高度由静止开始同时下落。三个线圈 都是由相同的金属材料制成的大小相同的正方形线圈。A 线圈有一个缺口，B、C 都是闭合的，但是 B 线圈 的导线比 C 线圈的粗，关于它们落地时间的说法正确的是（　　） A. 三线圈中 A 落地时间最短 B. 三线圈落地时间相同 C. B、C 两线圈落地时间相同 D. B 线圈落地时间比 C 线圈短 2. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为 L、电阻为 R 的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为 d(d>L)的条 形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动．t＝ 0 时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列 vt 图像中，可能正确描述 上述过程的是(　　) A. B. C. D. 3.如图所示，边长为 L 的正方形线框，从图示位置开始沿光滑斜面向下滑动，中途穿越垂直纸面向里、有理 想边界的匀强磁场区域，磁场的宽度大于 L，以 i 表示导线框中的感应电流，从线框刚进入磁场开始计时，取 逆时针方向为电流正方向，以下 i－t 关系图象，可能正确的是 (　　) A. B. C. D. 4. 超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推 进动力的新型交通工具．其推进原理可以简化为如图所示的模型：在水平面上相距 L 的两根平行直导轨间， 有竖直方向等距离分布的匀强磁场 B1 和 B2，且 B1＝B2＝B，每个磁场的宽度都是 L，相间排列，所有这些磁 场都以相同的速度向右匀速运动，这时跨在两导轨间的长为 L、宽为 L 的金属框 abcd（悬浮在导轨上方）在 磁场力作用下也将会向右运动．设金属框的总电阻为 R，运动中所受到的阻力恒为 Ff，金属框的最大速度为 vm，则磁场向右匀速运动的速度 v 可表示为（　　） ( B 2 L2 vm  Ff R ) A. v＝ B 2 L2 (4 B 2 L2 vm  Ff R ) B. v＝ 4 B 2 L2 (4 B 2 L2 vm  Ff R ) C. v＝ 4 B 2 L2 (2 B 2 L2 vm  Ff R ) D. v＝ 2 B 2 L2 5. 如图两根足够长光滑平行金属导轨 PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的上端与水平 放置的两金属板 M、N 相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒 ab 水平跨放在导轨上，下滑过程 中与导轨接触良好．现在同时由静止释放带电微粒和金属棒 ab，则(　　) A. 金属棒 ab 一直加速下滑 B. 金属棒 ab 最终可能匀速下滑 C. 金属棒 ab 下滑过程中 M 板电势高于 N 板电势 D. 带电微粒可能先向 N 板运动后向 M 板运动 6. 如图所示，两根平行且足够长的光滑金属导轨竖直放置，间距 L＝1 m，电阻忽略不计，导轨上端接一阻值 为 R＝0.5 Ω 的电阻，导轨处在垂直于轨道平面的匀强磁场中、导体棒 ab 的质量 m＝0.1 kg，电阻 r＝0.5 Ω， 由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，流过电阻 R 的电流逐渐增大，最终达到最大值 I＝1 A．整个运动过程 中 ab 棒与导轨垂直，且接触良好，g＝10 m/s2，求： （1）磁感应强度 B 的大小； （2）导体棒下落的最大速度； （3）导体棒的速度是 0.2 m/s 时的加速度。 7. 如图所示，半径为 l 的金属圆环水平固定，处于磁感应强度大小为 B、方向竖直向下的匀强磁场中，金属 棒 OA 可绕圆心 O 在圆环上转动．金属棒 CD 放在宽度也为 l 的足够长光滑平行金属导轨上，导轨倾角为 θ， 处于垂直导轨平面向下磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中．用导线分别将金属圆环、金属棒 OA 的 O 端分别 与两导轨连接，已知金属棒 OA 和 CD 的长度均为 l、质量均为 m、电阻均为 r，其他电阻不计．重力加速度 大小为 g． （1）将金属棒 OA 固定，使金属棒 CD 从静止开始下滑，求金属棒 CD 的最大速度； （2）让金属棒 OA 匀速转动，使金属棒 CD 保持静止，求金属棒 OA 的转动方向及角速度． 8. 如图所示，间距为 l 的平行金属导轨与水平面间的夹角为  ，导轨间接有一阻值为 R 的电阻，一长为 l 的金 属杆置于导轨上，杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为 μ，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向垂直于斜面向上，当金属杆受到平行于斜面向上大小为 F F 的恒定拉力作用，可以使其匀速向上运动；当金属杆受到平行于斜面向下大小为 2 的恒定拉力作用时，可 以使其保持与向上运动时大小相同的速度向下匀速运动，重力加速度大小为 g，求： （1）金属杆的质量； （2）金属杆在磁场中匀速向上运动时速度的大小。 1. AC 【详解】AB．A 线圈有一个缺口，进入磁场时，不产生感应电流，线圈不受安培力作用，只受重力，加速度 等于 g，而 B、C 线圈是闭合的，进入磁场时，产生感应电流，线圈受到竖直向上的安培力作用，则 A 线圈 落地时间最短，故 A 正确，B 错误； CD．设闭合线圈的边长为 L，横截面积为 S，电阻率为 ρ 电，密度为 ρ 密，质量为 m，进入磁场过程中速度为 v 时加速度为 a，根据牛顿第二定律得 B 2 L2v mg－ R ＝ma 解得 B 2v B 2 L2 v a＝g－ ＝g－ 16   密电 mR 可知 a 与横截面积 S 无关，所以 B、C 线圈在运动过程中加速度时刻相同，速度也时刻相同，所以 B、C 同时 落地，C 正确，D 错误。 故选 AC。 2. D 【详解】线框进入磁场时，由右手定则和左手点则可知线框受到向左的安培力，由于 ，则安培 力减小，故线框做加速度减小的减速运动；同理可知线框离开磁场时，线框也受到向左的安培力，做加速度 减小的减速运动；线框完全进入磁场后，线框中没有感应电流，不再受安培力作用，线框做匀速运动，本题 选 D． 3. BC 【详解】根据楞次定律得到，线框进磁场和出磁场过程感应电流方向相反．线框进磁场时感应电流方向为逆 时针，取逆时针方向为电流的正方向，所以进磁场电流为正值，出磁场电流为负值．当刚线框下边进磁场时， 当产生的安培力和重力沿斜面平行方向分力相等时，线框做匀速运动，产生不变的感应电动势，产生不变的 电流．当刚线框下边进磁场时，当产生的安培力小于重力沿斜面平行方向分力时，线框做加速度在减小的加 速运动，产生逐渐增大的感应电动势，产生逐渐增大的感应电流． 当线框完全进入磁场后，磁通量不变，无感应电流，在重力作用下，线框做加速运动．当刚线框下边出磁场 时，回路重新产生电流，并且此时电流绝对值应该大于线框完全进入磁场瞬间的电流值，由于安培力大于重 力，所以要做减速运动，产生减小的感应电动势，产生减小的电流，而电流减小，安培力也减小，所以线框 做加速度在减小的减小运动，即 v 随时间 t 的变化图象的斜率减小，由于感应电动势 E=BLv，所以感应电流 I E BLv  R R 所以电流 I 随时间 t 的变化图象的斜率也应该减小，故 AD 错误，BC 正确。 故选 BC． 4. B 【详解】由题，当金属框的最大速度为 vm 时，线框相对于磁场的速度大小为 v－vm，方向向左，bc 和 ad 产生 的感应电动势大小都为 E  BL （） v  vm 线框中感应电流大小为 I 2E R 由右手判断可知，感应电流方向为顺时针方向，由左手定则可知，bc 和 ad 所受安培力方向均向右，安培力 大小均为 F=BIL，联立得到 F 2 B 2 L2 (v  vm ) R 根据平衡条件得 2F  Ff 代入解得 (4 B 2 L2 vm  Ff R ) v 4 B 2 L2 故选 B。 5. ACD 【详解】根据牛顿第二定律有 mg sin   BIl  ma ，而 立解得 a I q U  Bl v v  at ，联 t ， q  C U，， mg sin  m  B 2l 2C ，因而金属棒将做匀加速运动，选项 A 正确 B 错误；ab 棒切割磁感线，相当于电源， a 端相当于电源正极，因而 M 板带正电，N 板带负电，C 正确；若带电粒子带负电，在重力和电场力的作用 下，先向下运动然后再反向向上运动，D 正确． 6. 【答案】（1）1 T；（2）1 m/s；（3）8 m/s2，方向竖直向下 【详解】（1）电流最大时导体棒速度最大，之后做匀速直线运动，根据平衡条件可得 ILB＝mg 解得 B mg 0.1�10   1T IL 1�1 （2）根据法拉第电磁感应定律可得 E＝BLv 根据闭合电路的欧姆定律可得 E＝（＋） I R r 联立解得 v＝1m/s （3）导体棒的速度是 0.2 m/s 时的安培力为 F1  I1 LB  B 2 L2 v1 Rr 根据牛顿第二定律可得 mg－＝ F1 ma 联立解得 a＝8m/s 2 方向竖直向下 2rmg sin  7. 【答案】（1） B 2l 2 4rmg sin  （2） B 2l 3 【详解】（1）金属棒 OA 固定时，金属棒 CD 切割磁感线相当与电源，根据法拉第电磁感应定律：E1=Blv 由欧姆定律： I1  E1 2r 电流方向从 C 到 D，金属棒 CD 受到的安培力沿斜面向上 F1=BI1l 金属棒 CD 达到最大速度后做匀速运动，根据平衡条件：mgsinθ=Fm 联立解得： vm  2rmgsin B 2l 2 （2）要使金属棒 CD 静止必须使金属棒 CD 受到的安培力沿斜面向上，由安培定则及楞次定律可知，金属棒 OA 应该沿逆时针方向转动（自上向下看）. 当金属棒 OA 以角速度 ω 转动时，产生感应电动势 联立可得 = E2  1 2 Bl  2 4rmgsin B 2l 3 8. 【答案】（1） m F 3RE  RF v  22 2 2 4 g sin  ；（2） 4B l 4 B l tan  。 【详解】（1）金属杆在平行于斜面向上大小为 F 的恒定拉力作用下可以保持匀速向上运动，设金属杆的质量 为 m，速度为 v，由力的平衡条件可得 F  mgsin   mgcos  BIl ， 同理可得 F  mgsin   mgcos  BIl