万有引力和航天典型题 一、单选题 1 1．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的 2 ，不考虑 卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ A．向心加速度大小之比为 4∶1 C．周期之比为 1∶4 ） B．角速度之比为 2∶1 D．轨道半径之比为 1∶4 2．如图所示，一颗卫星在近地轨道 1 上绕地球做圆周运动，轨道 1 的半径可近似等于地球半径，卫星运动到轨道 1 上 A 点时进行变轨，进入椭圆轨道 2，远地点 B 离地面的距离为地球半径的 2 倍。已知地球的密度为 ρ，引力常量为 G，则卫星从 A 点运动到 B 点所用的时间 为 6 A． G  2 B． G  3 C． G  3．对于质量分别为 m1 和 m2 的两个物体间的万有引力的表达式 F=G D． 2 3 G m1m2 r 2 ，下列说法正确的是(　　) A．公式中 G 是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B．当两物体间的距离 r 趋于零时，万有引力趋于无穷大 C．当有第三个物体放在 m1、m2 之间时，m1 和 m2 间的万有引力将增大 D．m1 和 m2 所受的引力性质可能相同，也可能不同 4．“天问一号“预计于 2021 年 5 月中旬着陆火星，着陆前在离火星表面一定高度处的圆轨道上做匀速圆周运动并做 相关探测，若“天问一号“在圆轨道上做圆周运动的周期为 T。“天问一号”与火星中心连线在单位时间内扫过的面积 为 S，则圆轨道的半径为（　　） A． ST  B．  ST C． 2ST  1 ST D． 2  5．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 上绕地球运动，近地点 Q 到地心 O 的距离为 a，远地点 P 到地心 O 的距离为 b，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动。已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g。则 gR 2 A．卫星在轨道 1 上运动经过 Q 点时，速率为 a gR 2 B．卫星在轨道 1 上运动经过 P 点时，速率大于 b gR 2 C．卫星在轨道 2 上运动经过 P 点时，速率大于 b gR 2 D．卫星在轨道 2 上运动经过 P 点时，加速度大小为 b 2 6．物体做曲线运动时，在某点附近极短时间内的运动可以看作是圆周运动，圆周运动的半径为该点的曲率半径。 2r1r2 已知椭圆长轴端点处的曲率半径公式为 ρ= r1  r2 ，其中 r1 和 r2 分别是长轴的两个端点到焦点 F 的距离（如图甲）。 如图乙，卫星在椭圆轨道Ⅰ上运行，运行到远地点 A 时，速率为 v1，之后变轨进入轨道Ⅱ做速率为 v2 的匀速圆周 v2 运动。若椭圆轨道近地点位于地球表面附近，远地点到地心的距离是 R'，地球半径为 R，则 v1 等于（　　） A． R  R' 2R B． R  R' R C． R  R' 2R ' D． 2 R  R' 2 R' 7．1844 年，德国天文学家贝塞尔根据天狼星的移动路径形成的波浪图形，推断天狼星是双星系统中的一颗星。已 知天狼星及其伴星都在各自轨道上互相绕转，绕转的周期约为 50 年，两星体之间的距离约为日地距离的 20 倍，引 力常量为 G。则（　　） A．可估算出双星系统的平均密度 C．可估算出双星系统的总质量 B．可估算出双星系统中任一星体的质量 D．双星系统中质量大的星体离绕行中心远 8．一颗在地球赤道上空绕地球运转的同步卫星，距地面高度为 h，已知地球半径为 R，自转周期为 T，地面处的重 力加速度为 g，则地球密度可以近似表达为（引力常量 G 已知）（　　） 3g A． 4 R 3g 4  ( R  h) B． 3 C． GT 2 3 ( R  h)3 D． GT 2 R 3 二、多选题 9．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小 于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有 引力作用下，绕连线上的 O 点做周期为 T 的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为 m1：m2＝ 3：1．则可知（ ） A．m1：m2 做圆周运动的角速度之比为 3:1 B．m1：m2 做圆周运动的线速度之比为 1:3 C．m1 做圆周运动的半径为 L 3 4 2 L3 D．双星系统的总质量为 GT 2 10．如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星。下 列关于 a、b、c 做匀速圆周运动的说法中，正确的是（ ） A．角速度的大小关系为 ωb > ωc = ωa B．向心加速度的大小关系为 aa > ab > ac C．线速度的大小关系为 vb > vc > va D．周期关系为 Ta = Tc > Tb 11．我国于 2020 年 7 月成功发射火星探测器“天问 1 号”，“天问 1 号”经过 7 个月左右的飞行将到达火星，着陆火星 表面并进行巡视探测。假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点 的时间是火星上的 a 倍，已知地球半径与火星半径之比为 b。不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力。下列说 法正确的是：（　　） A．地球绕太阳运动周期的平方与火星绕太阳运动周期的平方之比为 b3 B．地球表面与火星表面的重力加速度大小之比为 a：1 C．地球与火星的质量之比为 b2：a D．地球与火星的第一宇宙速度大小之比为 b: a 12．太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待。该行星的温 度在 0℃到 40℃之间，质量是地球质量的 6 倍，直径是地球直径的 1.5 倍，公转周期为 13 个地球日。“Glicsc581” 的质量是太阳质量的 0.31 倍。设该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则 （　　） A．该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的 2 倍 2 B．如果人到了该行星，其体重是地球上的 2 倍 3 13 C．该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的 365 倍 D．恒星“Glicsc581”的密度是地球密度的 169 倍 13．人造地球卫星 a 的圆形轨道离地面高度为 h,地球同步卫星 b，离地面高度为 H， h  H 。两卫星共面且转动方 向相同，某时刻卫星 a 恰好出现在赤道上某建筑物 c 的正上方，设地球赤道半径为 R，地面重力加速度为 g，则下 列说法错误的是（　　） Rh A．a、b 线速度大小的比值为 R  H ( R  H )3 B．a、c 角速度大小的比值为 ( R  h)3 R3 C．b、c 向心加速度大小的比值为 ( R  H )3 D．a 下一次通过 c 的正上方所需时间 t 2 gR 3 ( R  h )3  ( R  H )3 14．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星 500”的实验活动假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地 1 1 球半径的 2 ，火星质量是地球质量的 9 ；已知地球表面的重力加速度是 g，地球的半径为 R，王跃在地面上能向上 竖直跳起的最大高度是 h。忽略星球自转的影响，引力常量为 G，下列说法正确的是（　　） 2g A．火星的平均密度为 3 GR 4 B．火星表面的重力加速度是 g 9 2 C．火星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的 9 9 D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是 h 4 三、解答题 15．如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道 上运行，若三颗星质量均为 M，万有引力常量为 G，求： (1)甲星所受合外力； (2)甲星的线速度； (3)甲星和丙星的周期。 16．假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面 h 处由静止释放一个小球（引力视为恒力，阻力 可忽略），经过时间 t 落到地面。已知该行星半径为 R，自转周期为 T，引力常量为 G，求： （1）该行星的平均密度 ρ； （2）该行星的第一宇宙速度 v； （3）如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度 H 为多少？ 17．一宇航员在半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：如图所示，在不可伸长的长度为 l 的轻绳一端系 一质量为 m 的小球，另一端固定在 O 点，当小球绕 O 点在竖直面内做圆周运动通过最高点速度为 v0，绳的弹力为 零。不计小球的尺寸，已知引力常量为 G，求： (1)该行星表面的重力加速度； (2)该行星的第一宇宙速度； (3)该行星的平均密度。 18．如图所示，一颗卫星在近地轨道 1 上绕地球做匀速圆周运动，轨道 1 的半径可近似等于地球半径，卫星运动到 轨道 1 上 A 点时进行变轨，进入椭圆轨道 2，其远地点 B 离地面的距离为地球半径的 2 倍，已知地球的密度为 ρ， 引力常量为 G，求： （1）卫星在轨道 1 上做圆周运动的周期； （2）卫星在轨道 2 上从 A 点运动到 B 点所用的时间．参考答案： 1．D 【解析】 【分析】 【详解】 1 D．该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减为原来的 2 ，根据 G v2 Mm = m r2 r 可得 r= GM v2 可知变轨后轨道半径变为原来的 4 倍，D 正确； A．根据 G Mm = man r2 得 an = GM r2 1 则变轨后的向心加速度变为原来的 16 ，A 错误； B．根据 ω= v r 1 可知变轨后角速度变为原来的 ，B 错误； 8 C．根据 T= 可知，变轨后周期变为原来的 8 倍，C 错误。 故选 D。 2．A 【解析】 2  【详解】 设卫星在轨道 1 上做圆周运动的周期为 T1，则 2 �2 � Mm G 2  mR � � R �T1 �  M 4  R3 3 可得 T1  3 G 设卫星在轨道 2 上运动的周期为 T2，根据开普勒第三定律有 T22 (2 R)3  T12 R3 求得 T2  2 2T 卫星从 A 到 B 运动的时间 1 6 t  T2  ； 2 G 故选 A。 3．A 【解析】 【详解】 A．公式中 G 是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，故 A 正确； B．当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用，物体 间的万有引力不会变得无穷大，故 B 错误；