万有引力定律 一、单选题 1．用国际单位制的基本单位表示万有引力常量的单位，下列符合要求的是（　　） A． N� m/kg 2 B． N� kg 2 /m 2 C． N� m 2 /kg 2 D． kg � s 2 /m 3 2．2021 年 4 月 29 日 11 时 23 分，中国空间站“天和”核心舱发射升空，准确进入预定轨 道，任务取得成功。已知地球的质量为 M、半径为 R，“天和”核心舱的质量为 m，引力 常量为 G，“天和”核心舱围绕地球做半径为 r 的匀速圆周运动时，“天和”核心舱（　 　） m A．向心加速度为 G r 2 B．动能为 G 2r C．速度一定大于 7.9km/s D．不再受到重力作用 Mm 3．如图所示，将一半径为 R、质量为 M 的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球 半径一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小 球的球心、大球的球心都在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球间的万有引力 大小约为（　　） GM 2 A．0.01 R 2 GM 2 B．0.02 R 2 GM 2 C．0.05 R 2 GM 2 D．0.04 R 2 4．我国发射的“嫦娥三号”卫星是登月探测器。该卫星先在距月球表面高度为 h 的轨道 上绕月球做周期为 T 的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月。已知月球的半径为 R， 万有引力常量为 G，忽略月球自转及地球对卫星的影响。则以下说法正确的是（　 　）  2 ( R  h) 2 A．物体在月球表面自由下落的加速度大小为 T 2 R 2 B．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为 2 ( R  h) T  2 ( R  h) 3 C．月球的平均密度为 GT 2 R 3 2 R D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为 T R +h R 5．我国的“天眼”是世界上最大的射电望远镜，通过“天眼”观测到的某三星系统可理想 化为如下模型：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒 星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为 M，万有引力常量 为 G，则（　　） 5GM 2 A．甲星所受合外力为 4 R 2 C．甲星的周期 2 R R 5GM 5GM B．甲星的线速度为 2 R 5GM 2 D．甲星的向心加速度为 2 R 2 6．2020 年 11 月 29 日 20 时 33 分，嫦娥五号探测器在近月点再次“刹车”，从椭圆环月 轨道变为近圆形环月轨道，如图所示，近圆形轨道离月球表面 200km，月球质量 7.3×1022kg，半径为 1738km，引力常量 G=6.67×10-11N·m²/kg，则（　　） A．在两轨道上运行的周期相等 B．在近月点“刹车”瞬间前后的加速度不变 C．在近圆形轨道上的环绕速度约为 4.9km/s D．探测器在环月椭圆轨道的机械能小于在近圆形环月轨道的机械能 7．已知火星半径大约是地球的一半，火星质量约为地球的 1 ，火星绕太阳公转的周 10 期约为地球的 2 倍，忽略火星和地球自转，则（　　） A．火星表面的重力加速度约为地球表面的 1 5 B．火星绕太阳的轨道半径约为地球的 4 倍 5 C．火星表面的第一宇宙速度约为地球的 5 1 40 D．火星受到太阳的万有引力约为地球的 二、多选题 8．我国计划发射“嫦娥五号”探月卫星，执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返 回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近 的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的 A 处进行变轨，进入月地转移轨道Ⅱ，第三步 当接近地球表面附近时，又一次变轨，从 B 点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道 后降落至地面。下列说法正确的是（　　） A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时，所需的发射速度为 7.9 km/s B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时需要加速 C．“嫦娥五号”从 A 点沿月地转移轨道Ⅱ到达 B 点的过程中其速率先减小后增大 D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速 9．我国在北京时间 2021 年 6 月 17 日 9 时 22 分发射“神舟十二号”载人飞船，搭载航天 员：聂海胜、刘伯明、汤洪波。北京时间 2021 年 9 月 16 日 8 时 56 分，“神舟十二号”载 人飞船与空间站“天和”核心舱成功实施分离，开始返回。有关“神舟十二号”载人飞船下 列说法正确的是（　　） A．“神舟十二号”载人飞船的发射速度大于 7.9km/s B．“神舟十二号”飞船与空间站“天和”核心舱分离后，空间站“天和"核心舱会离地球越 来越远 C．“神舟十二号”飞船与空间站“天和”核心舱分离后，助推器点火向后喷气才能返回地 球 D．“神舟十二号”飞船进入大气层下落过程中，既有失重过程又有超重过程 10．引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是引力波的来源之一，假 设宇宙中有一双星系统由 P、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在二 者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为 T，P、Q 两颗星之间的距 离为 l，P、Q 两颗星的轨道半径之差为 Δr（P 星的轨道半径大于 Q 星的轨道半径）， 引力常量为 G，则（　　） A．P、Q 两颗星的向心力大小相等 B．P、Q 两颗星的线速度之差为 2πΔr GT 2 2 2 4πΔ l r 2 C．P、Q 两颗星的质量之差为 GT 4π 2l 2 2 D．P、Q 两颗星的质量之和为 GT 11．2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分航天员翟志刚、王亚平、叶光富搭乘神州十三号载人 飞船，从酒泉发射升空，6 时 56 分与天和核心舱完成自主快速交会对接。已知空间站 轨道高度约为 400km，由此可判断（　　） A．空间站每 24h 可以看到日出次数少于 18 次 B．发射神州十三号时速度要大于 7.9km/s C．空间站中，航天员处于完全失重状态 D．若要神州十三号和空间站实现对接，可让神州十三号在空间站轨道上直接加速 三、填空题 12．金星的半径是地球半径的 a 倍，质量是地球质量的 b 倍，则金星表面的自由落体 加速度是地球表面自由落体加速度 g 的______倍。 13．已知绕中心天体做匀速圆周运动的星体的轨道半径为 r ，运行周期为 T。 （1）若中心天体的半径为 R，则其平均密度 ρ=______。 （2）若星体在中心天体表面附近做匀速圆周运动，则其平均密度 ρ=______。 四、解答题 14．一个质量均匀分布的球体，半径为 2r，在其内部挖去一个半径为 r 的球形空穴， 其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为 m，在球心和空穴中心连线上， 距球心 d＝6r 处有一质量为 m2 的质点，求： (1)被挖去的小球挖去前对 m2 的万有引力为多大？ (2)剩余部分对 m2 的万有引力为多大？ 15．如图所示，已知“神舟十一号”从捕获“天宫二号”到实现对接用时为 t，这段时间内 组合体绕地球转过的角度为 θ（此过程轨道不变，速度大小不变）。地球半径为 R，地 球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转，求组合体运动的周期 T 及所 在圆轨道离地高度 H。 16．2018 年 12 月 27 日，我国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统 正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统是由静止轨道卫星（即地球同步卫 星）和非静止轨道卫星共 35 颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一 颗地球同步卫星距离地球表面的高度为 h，地球质量为 M，地球半径为 R，引力常量为 G。 （1）求该同步卫星绕地球运动的线速度 v 的大小； （2）如图所示，O 点为地球的球心，P 点处有一颗地球同步卫星，P 点所在的虚线圆 轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知 h=5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证 说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星。 （cos81°≈0.15，sin81°≈0.99） 参考答案： 1．C 【解析】 【详解】 国际单位制中质量 m、距离 r、力 F 的单位分别是：kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律 F G 得到 G 的单位是 N� m 2 /kg 2 m1m2 r2 ，根据牛顿第二定律得 F  ma 则 1N  1kg � m/s 2 所以 G 的单位还可以写成 m 3 /  kg � s2  ，故 C 正确，ABD 错误。 故选 C。 2．B 【解析】 【详解】 AB．由 GMm v2  m  ma r2 r 解得 A 错误，B 正确； v GM GM 、a  2 r r Ek  1 2 Mm mv  G 2 2r C．第一宇宙速度为 7.9km/s，是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，所以“天 和”核心舱在轨运行速度一定小于 7.9km/s，选项 C 错误； D．“天和”核心舱围绕地球做半径为 r 的匀速圆周运动时，重力提供向心力，仍然受到重力 的作用，选项 D 错误。 故选 B。 3．D 【解析】 【详解】 R M 由题意可得，挖去的小球的半径为 2 、质量为 8 。挖出小球前，大球对球外小球的万有 引力为 M M� 2 8  GM 2 F=G � R � 18 R 2 R  � � � 2� 将挖出的小球填回原位置，则填入左侧原位置的小球对球外小球的万有引力为 M M � 2 F1=G 8 82  GM 2 （） 2R 256 R 填入右侧原位置的小球对球外小球的万有引力为 M M � 2 F2=G 8 8  GM 2 R 64 R 2 则大球中剩余部分对球外小球的万有引力为 GM 2 F3=F-F1-F2≈0.04 R 2 故选 D。 方法点津 先把挖去的部分“补”上，得到半径为 R 的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算补回 R 的左、右两个半径为 2 的球体和半径为 R 的完整球体对球外小球的万有引力 F1、F2、F， 再利用力的合成与分解规律即可求得结果。 4．B 【解析】 【详解】 A．在月球表面，重力等于万有引力，则得 G Mm  mg ① R2 对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得 G Mm 4 2  m ( R  h) ( R  h) 2 T2 ② 由①②解得 4 2 ( R  h)3 T 2 R2 g A 错误； B．“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为 r  Rh 则它绕月球做与速圆周运动的线速度大小