第五章 平抛运动 §5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解 一、曲线运动 1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。 3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。 ② 运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。 ③F 合≠0，一定有加速度 a。 ④F 合方向一定指向曲线凹侧。 ⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。 4.运动描述——蜡块运动 vy θ 涉及的公式： v vx P 蜡块的位置 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动的关系：等时性、 独立性、等效性、矢量性。 2.互成角度的两个分运动的合运动的判断： ① 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。 ② 速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其 合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。 ③ 两初速度为 0 的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。 ④ 两个初速度不为 0 的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分 运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一 直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。 三、有关“曲线运动”的两大题型 （一）小船过河问题 模型一：过河时间 t 最短： v船 v θ d 二：直接位移 x 最短： v水 间接位移 x 最短： ， 模型 v船 模型三： θ v d v水 当 v 水 <v 船 时， xmin=d ， ， v船 v船 θ A θ d v水 当 v 水 >v 船时，， ， [触类旁通]1．(2011 年上海卷)如图 5－4 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可 伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为 α 时， 船的速率为（ C ）。 A . v sin α B. v sin α C . v cos α D. v cos α 解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物 体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速，故 v 船＝v cosα，C 正确． 2．(2011 年江苏卷)如图 5－5 所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发，分别沿直线游到 A 点 和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB. 若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲、t 乙的大小关系为(C) A．t 甲<t 乙 B．t 甲＝t 乙 C．t 甲>t 乙 D．无法确定 解析：设游速为 v，水速为 v0，OA＝OB＝l，则 t 甲＝＋；乙沿 OB 运动，乙的速度矢量图如图 4 所示，合速度必须沿 OB 方向，则 t 乙＝2·，联立解得 t 甲>t 乙，C 正确． （二）绳杆问题(连带运动问题) 1、实质：合运动的识别与合运动的分解。 2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定； ② 沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。 模型四：如图甲，绳子一头连着物体 B，一头拉小船 A，这时船的运动方向不沿绳子。 B O O θ v1 A vA vA v2 甲 乙 处理方法：如图乙，把小船的速度 vA 沿绳方向和垂直于绳的方向分解为 v1 和 v2，v1 就是拉绳的 速度，vA 就是小船的实际速度。 [触类旁通]如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若 汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是( C） A．物体做匀速运动，且 v2＝v1 B．物体做加速运动，且 v2>v1 C．物体做加速运动，且 v2<v1 D．物体做减速运动，且 v2<v1 解析：汽车向左运动，这是汽车的实际运动，故为汽车的合运动 ． 汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车之间的绳变长了；二 是滑轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了．显然汽车的运 动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳与竖直方向的夹角 的运动合成的，故应分解车的速度，如图，沿绳方向上有速度 v2 ＝v1sin θ.由于 v1 是恒量，而 θ 逐渐增大，所以 v2 逐渐增大，故 被吊物体做加速运动，且 v2＜v1，C 正确． §5-2 平抛运动 & 类平抛运动 一、抛体运动 1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它 的运动即为抛体运动。 2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受 G。 二、平抛运动 1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。 2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受 G。 3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个 1 2 2 gt ¿ 2 是竖直方向的自由落体运动。 ¿ v 0 t ¿2 +¿ （1）位移： 4.规律： ¿ 1 x=v 0 t , y = gt 2 , s= √¿ 2 2 gt ¿ gt 2 α （2）速度： v x =v 0 ， v y =gt ， v 0 +¿ ， tan θ= v0 v =√ ¿ （3）推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角 θ 的正切值等于位移偏向 1 2 gt gt 2 gt 角 φ 的 正 切 值 的 两 倍 。 证 明 如 下 ： tan α = , tan θ= = . v0 v0 t 2 v0 tanθ=tanα=2tanφ。 ② 从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移的 [牛刀小试]如图为一物体做平抛运动的 x－y 图象，物体从 O 点抛出， x、y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点 P(a，b)，其速度的反向 延长线交于 x 轴的 A 点(A 点未画出)，则 OA 的长度为(B） A.a B.0.5a C.0.3a D.无法确定 解析：作出图示(如图 5－9 所示)，设 v 与竖直方向的夹角为 α，根据几何关系得 tan α＝①， 由平抛运动得水平方向有 a＝v0t②，竖直方向有 b＝vyt③，由①②③式得 tan α＝ ，在 Rt△AEP 中，AE＝b tan α＝，所以 OA＝. 5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素 √ 2h ，t 与物体下落高度 h 有关，与初速度 v0 无关。 g 2h , 由 v0 和 h 共同决定。 b、水平射程： x=v 0 t =v 0 g a、飞行时间： t = √ c、落地速度： v =√ v 0 +v y = √ v 0 + 2gh ，v 由 v0 和 vy 共同决定。 2 2 2 三、平抛运动及类平抛运动常见问题 模型一：斜面问题： 处理方法： 1. 沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； 2. 沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。 考点一：物体从 A 运动到 B 的时间：根据 考点二： B 点的速度 vB 及其与 v0 的夹角 α ： 考点三： A 、 B 之间的距离 s ： [触类旁通](2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为 θ 的斜面 上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5－10 中虚线所示．小球在竖直方向下落的距 思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动 离与在水平方向通过的距离之比为(D） 和竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动， 1 tan θ 1 2 tan θ 应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。 C. D. A . tan θ B . 2 tan θ 例：如图 1 所示，排球场总长为 18m ，设球网高度为 2m ，运动员站在 离网 3m 的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。（不计空 5 所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角 θ，有 tan θ＝，则下落高 解析：如图 气阻力） （ 1 ）设击球点在 3m 线正上方高度为 2.5m 处，试问击球的速度在什么 度与水平射程之比为＝＝＝，D 正确． 范围内才能使球即不触网也不越界？ （ 2 ）若击球点在 3m 线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度 模型二：临界问题： 多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？ 考点一：沿初速度方向的水平位移：根据 模型三：类平抛运动： 考点二：入射的初速度： 考点三： P 到 Q 的运动时间： [综合应用](2011 年海南卷)如图 所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab 为沿水 平方向的直径．若在 a 点以初速度 v0 沿 ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点．已 知 c 点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径。 解：设坑的半径为 r，由于小球做平抛运动，则 x＝v0t ① y＝0.5r＝gt2 ② 过 c 点作 cd⊥ab 于 d 点，则有 Rt△acd∽Rt△cbd 可得 cd2＝ad·db 即为()2＝x(2r－x) ③ 又因为 x>r，联立①②③式解得 r＝v. §5-3 圆周运动 & 向心力 & 生活中常见圆周运动 一、匀速圆周运动 1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即 为匀速圆周运动。 2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变 速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方 向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动 具有周期性。 3.描述圆周运动的物理量： （1）线速度 v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位 制中单位符号是 m/s，匀速圆周运动中，v 的大小不变，方向却一直在变； （2）角速度 ω 是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是 rad／s； （3）周期 T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是 s； （4）频率 f 是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是 Hz； （5）转速 n 是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为 r/s，以及 r/min． 4.各运动参量之间的转换关系： v =ωR= 2π v 2π 2π R=2 π nR ⃗ 变形 ω= = =2 πn ,T = R. T R T v 5.三种常见的转动装置及其特点： A 模型一：共轴传动 模