静电场考点突破微专题 1 库仑力作用下的静态平衡 一 知能掌握 1、库仑定律 （1）内容：真静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成 反比，作用力的方向在它们的连线上． （2）公式：F＝k，其中比例系数 k 叫做静电力常量，k＝9.0×109 N·m2/C2. （3）适用条件：①真空中（空气中也近似成立）；②静止；③点电荷. （4）点电荷：是一种理想化的物理模型，电荷分布均匀的球体，即带电体的形状和大小对相互作用力的 影响可以忽略不计。（这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布的球，无论两球相距多 近，r 都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，不能再用球心距代替 r）。 （5）对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r 为球心间的距离． （6）对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图 6 所示． 同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k. （7）不能根据公式错误地认为 r→0 时，库仑力 F→∞，因为当 r→0 时，两个带电体已不能看做点电荷 了． 2．三个自由点电荷的平衡问题 (1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相 等，方向相反． (2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷． 3.库仑力作用下电荷平衡与加速问题的分析思路（力学方法、电学问题） (1)选对象。恰当选取研究对象，用“隔离法”或“整体法”进行． (2)析动力、析功能。进行受力分析、运动分析，做功分析、能量转化分析。，注意库仑力的特点． (3)列方程。列平衡方程，牛顿运动定律方程，运动学方程、功能关系方程、能量守恒定律方程、辅助方 程，注意电荷间的库仑力与电荷间的距离有关． (4)求结果。注意正负，对结果进行检查并讨论。 二 探索提升 【典例 1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷．如果在距离 地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距 离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将(　) A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动 C．仍处于悬浮状态 D．无法判断 【答案】　C 【解析】地球表面带负电，故可等效为一个带负电的且位于地球球心处的点电荷，这样地球和带电尘埃 间的作用就可等效为点电荷间的作用，可以用库仑定律进行定量分析．由于尘埃与地球之间的位置变化 很大，故尘埃的重力是变化的，所以需要先将地球与尘埃等效为两质点，才可用万有引力进行定量分 析． 设带电尘埃的质量为 m，电荷量为 q；地球的质量为 M，地球所带负电荷总量 Q，地球半径为 R，当尘埃 放在距离地球表面高度为地球半径一半时，恰好悬浮，由库仑定律和万有引力定律可得： ＝G，得 kQq＝GMm ① 当尘埃放在距离地球表面高度与地球半径相等时，受到的万有引力 F＝；受到的库仑力为：F′＝，则＝ ② 联立①②可知：＝1，故 C 正确． 【典例 2】 真空中有两个固定的点电荷 A、B，所带电荷量分别为 qA、qB，两点电荷之间距离为 r， 若引入第三个点电荷 C，欲使点电荷 C 处于静止状态，试确定点电荷 C 的位置、电性和它的电荷量。 【解析】设点电荷 C 的电荷量为 qC，由于点电荷 A、B 所带电荷的电性未知，所以可讨论如下： （1）若点电荷 A、B 带同种电荷，则由点电荷 C 的平衡条件可知，它应放在 A、B 间的连线上。设 点电荷 C 与 A、B 的距离分别为 rA、rB，则由库仑定律和平衡条件得： ，由此可得： ，（式中 rA+rB=r）。 这表明点电荷 C 处于静止状态与其电性、电荷量的多少无关，只与其放置的位置有关，且放置位置 （与 A、B 间距离）跟原点电荷的电荷量的平方根成正比。 （2）若点电荷 A、B 带异种电荷，则由点电荷 C 的平衡条件可知，它应放在 A、B 连线的延长线 上，即放在 A 的外侧或 B 的外侧，设点电荷 C 与 A、B 的距离分别为 rA、rB，则由库仑定律和平衡条件 得： ，由此可得： 这表明点电荷 C 处于静止状态与其电性、电荷量的多少无关，只与其放置的位置有关，且应放置在 带电量小的点电荷的外侧（与 A、B 间距离）跟它们的电荷量的平方根成正比。 【典例 3】两个电荷量分别为 qA 和 qB 的点电荷 A、B，在真空中相距为 r，如果引入另一点电荷 C， 正好能使这三个点电荷都处于静止状态。试确定电荷 C 的位置、电性及它的电荷量。 【解析】由于 A、B 点电荷的电性未知，则可讨论如下： （1）若点电荷 A、B 带同种电荷，由平衡条件可知，电荷 C 应放在 A、B 之间的连线上，这样才能 使三个电荷所受库仑力的方向相反、合力为零。设点电荷 C 与 A、B 的距离分别为 rA、rB（如图 1 所 示），则对点电荷 C 由库仑定律和平衡条件可得： ，由此可得： ，（式中 rA+rB=r） 三个电荷都处于静止状态，即电荷 A、B 所受静电力的合力也应为零，对电荷 A 而言，B 对它的库 仑力是向左的斥力，可知 C 对 A 的库仑力应是向右的引力，所以电荷 C 的电性一定与 A、B 的电性相 反。所带电量由库仑定律和平衡条件可得： 图 1-1 解此式可得： 。 图 1-2 （2）若点电荷 A、B 带异种电荷，由平衡条件可知，电荷 C 应放在 A、B 连线的延长线上，且在电 荷量小那一个的外侧。设点电荷 C 与 A、B 的距离分别为 rA、rB（若 qA>qB，如图 2 所示），则对点电荷 C 用库仑定律和平衡条件可得： ，由此可得： ，（式中 ） 三个电荷都处于静止状态，对点电荷 A、B 所受静电力的合力也应为零，对电荷 B 而言，A 对它的 库仑力是向左的引力，可知 C 对 B 的库仑力应是向右的引力，所以电荷 C 的电性一定与远的那一个相 同、与近的相反。再对电荷 B 用库仑定律和平衡条件可得： ，解此式可得： 结论：由以上两种情形的讨论，对点电荷系的平衡问题可概括为“同内、异外、近小”六个字。“同 内”就是第三个点电荷应放在两个同种电荷的连线间；“异外”是指第三个点电荷应放在两个异种电荷连线 的延长线上；“近小”是指第三个点电荷应靠近电荷量小的点电荷。 【典例 4】两个大小相同的小球带有同种电荷(可看作点电荷)，质量分别为 m1 和 m2，带电量分别是 q1 和 q2，用两等长的绝缘线悬挂后，因静电力而使两悬线张开，分别与竖直方向成夹角 α1 和 α2，如图 2 所示， 若 α1＝α2，则下述结论正确的是（ ） 图2 A.q1 一定等于 q2 B.一定满足 C.m1 一定等于 m2 D.必定同时满足 q1=q2，m1=m2 【答案】 C 【解析】 可任选 m1 或者 m2 为研究对象，现以 m1 为研究对象，其受力如图 3 所示，无论 q1、q2 的大小关 系如何，两者之间的库仑斥力是大小相等的，故 ，即 . T F 斥 m1 mg 图3 【典例 5】如图 4 所示，质量分别为 m1、m2 的两个小球 A、B，带同种电荷且带电量分别为 q1 和 q2， 现用长度分别为 、 。试比较 , 的绝缘轻质细线将两个小球 A、B 悬挂起来，平衡时细线与竖直方向的夹角分别为 与 的大小。 图4 解析：取小球 A、B 整体为研究对象，对其进行受力分析如图 5 所示，若以 O 点为轴，则由力矩平 衡条件有： 与 ，可得 的大小关系，细线 、 的长短关系未定，因此对 （1）若两丝线等长，即 = > 时， < ；当 < ，这表明 与小球的带电量无关，但由于 ，如图 4 所示，则有 时， > 图5 可讨论如下： ，所以当 。 图6 图7 = 时， = ；当 （2）若两球等高，即 = ；当 > 时， < ，如图 6 所示，则有 ；当 < 时， 时， = ; > 时， < ；当 < （4）若两悬线任意长，则由 < ；当 时， > ，如图 7 所示，则一定有 时， = 时， 。 > （3）若两球到过悬点的竖直线等距，即 = ，所以当 > = ，且当 。 可知，当 时， = ，当 时， 。 【典例 6】如图 8 所示，两根细线挂着两个质量相同的小球 A、B，上、下两根细线的拉力分别为 FA、FB，现使两球带同种电荷，此时上、下细线受拉力分别为 FA′、FB′，则(　　) 图8 A．FA＝FA′，FB>FB′ B．FA＝FA′，FB<FB′C．FA<FA′，FB>FB′ D．FA<FA′，FB<FB′ 【答案】B 【解析】设两球质量均为 m.则 FA＝2mg，FB＝mg.现使两球带同种电荷，以 A、B 两个物体整体为研究对 象，可知 FA′＝2mg，以 B 球为研究对象，受力分析如图 9，则 FB′＝mg＋F 库，故 B 选项正确． 图9 三 高考真题 1.(2019 课标Ⅰ,15,6 分)如图 10,空间存在一方向水平向右的匀强电场,两个带电小球 P 和 Q 用相同 的绝缘细绳悬挂在水平天花板下,两细绳都恰好与天花板垂直,则 (　　)   图 10 A.P 和 Q 都带正电荷 C.P 带正电荷,Q 带负电荷 B.P 和 Q 都带负电荷 D.P 带负电荷,Q 带正电荷 【答案】 D　 【解析】本题考查库仑力的性质以及学生对基本知识的理解能力,体现了运动与相互作用观念核心素养。 两细绳都恰好与天花板垂直说明两小球水平方向都处于平衡状态。设匀强电场场强为 E,P 所带电荷量大小 为 q,Q 所带电荷量大小为 q'。若 P 带负电,对 P 分析如图 11 所示,此时 Q 应带正电,对 Q 分析如图 12 所示,两 细绳可与天花板垂直,符合题意;同理分析若 P 带正电,不符合题意。故 选 D。   图 11 图 12  2.(2018 全国高考 1 卷) 如图 13，三个固定的带电小球 a、b 和 c，相互间的距离分别为 ab=5 cm，bc=3 cm，ca=4 cm。小球 c 所受库仑力的合力的方向平行于 a、b 的连线。设小球 a、b 所带电荷量的比值的绝 对值为 k ，则（ ） 图 13 A. a、b 的电荷同号， B. a、b 的电荷异号， C. a、b 的电荷同号， D. a、b 的电荷异号， 【答案】 D 【解析】此题将库仑定律、受力分析、平行四边形定则有