波的多解问题 一．造成波动问题多解的三大因素 1.周期性形成多解 (1)时间周期性：时间间隔 Δt 与周期 T 的关系不明确。 (2)空间周期性：波传播距离 Δx 与波长 λ 的关系不明确。 2.双向性形成多解 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。 (2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。 3.波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信 息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 二．解决波的多解问题的思路 一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的 Δt 或 Δx，若此关系为时间，则 t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则 x＝nλ ＋Δx(n＝0,1,2，…)． 三．习题 类型一：双向性形成多解 1.(多选)一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有 A、B 两点．在 t 时刻 A、B 两点间形成如图甲所示波形，在(t＋3 s)时刻 A、B 两点间形成如图乙所示波 形，已知 A、B 两点间距离 a＝9 m，则以下说法中正确的是(　　) A．若周期大于 4 s，波可能向右传播 B．若周期为 4 s，波一定向右传播 C．若波速为 8.5 m/s，波一定向左传播 D．该波波速可能的最小值为 0.5 m/s 2.　如图甲所示，一列简谐波沿 x 轴传播，A、B 为平衡位置相距 4 m 的两个质 点，它们的振动图像如图乙所示。求该波的波速。 类型二：周期性形成多解 3.P、Q 是一列简谐横波中的两个质点，它们的平衡位置相距 30 m，各自的振动 图象如图中的实线和虚线所示，且 P、Q 之间的距离小于一个波长，求： (1)若 P 比 Q 离波源近，该波的波长； (2)若 Q 比 P 离波源近，该波的速度． 4.　(多选)如图所示，这是一列沿 x 轴传播的简谐横波，实线为 t＝0 时刻的波形 图，经过 t1＝6 s，波形图如图中虚线所示。已知波的周期 T＞4 s，则下列说法 正确的是(　　) A．该波的波长为 8 m B．该波的周期可能为 8 s C．在 t＝9 s 时，B 质点一定沿 y 轴正方向运动 D．该列波的波速可能为 m/s 5.　(多选)一列机械波沿直线 ab 向右传播，＝2 m，a、b 两点的振动情况如图所 示，下列说法正确的是(　　) A．波速可能是 m/s B．波长可能是 m C．波速可能大于 m/s D．波长可能大于 m 6.　如图，实线为一列沿 x 轴正方向传播的简谐横波在 t＝0 时刻的波形，虚线 是该波在 t＝0.20 s 时刻的波形，则此列波的波速可能为(　　) A．25 m/s　 B．20 m/s　 C．35 m/s　 D．55 m/s 7.(多选)(2016·四川高考)简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q 是传播方向 上相距 10 m 的两质点，波先传到 P，当波传到 Q 开始计时，P、Q 两质点的振 动图象如图所示。则(　　) A.质点 Q 开始振动的方向沿 y 轴正方向 B.该波从 P 传到 Q 的时间可能为 7 s C.该波的传播速度可能为 2 m/s D.该波的波长可能为 6 m 8. (2018·北京理综，4)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q 两质点平衡位 置相距 0.15 m。当 P 运动到上方最大位移处时，Q 刚好运动到下方最大位移 处，则这列波的波长可能是(　　) A.0.60 m B.0.30 m C.0.20 m D.0.15 m 类型三：波形的隐含性形成多解 9.机械横波某时刻的波形图如图所示，波沿 x 轴正方向传播，波长 λ＝0.8 m，质 点 P 的坐标 x＝0.32 m。从此时刻开始计时。 (1)若每间隔最小时间 0.4 s 重复出现波形图，求波速； (2)若 P 点经 0.4 s 第一次达到正向最大位移，求波速； (3)若 P 点经 0.4 s 到达平衡位置，求波速。 10.(多选)如图所示，一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，实线为 t＝0 时的波形 图，虚线为 t＝0.5 s 时的波形图。已知该简谐波的周期大于 0.5 s。关于该简谐 波，下列说法正确的是(　　) A.波长为 2 m B.波速为 6 m/s C.频率为 1.5 Hz D.t＝1 s 时，x＝1 m 处的质点处于波峰 11．一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，沿传播方向上 P、Q 两点的振动图象如图 甲、乙所示，已知 P、Q 两点平衡位置的坐标分别为 xP＝2 m、xQ＝4 m。问： 甲　　　　　　　　　　乙 (1)若该波的波长大于 2 m，则波速是多大？ (2)若该波的波长小于 2 m，则波长是多少？ 12．(多选)(2018·全国卷Ⅲ)一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，在 t＝0 和 t＝0.20 s 时的波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期 T＞0.20 s。下列说法正 确的是________。 A．波速为 0.40 m/s B．波长为 0.08 m C．x＝0.08 m 的质点在 t＝0.70 s 时位于波谷 D．x＝0.08 m 的质点在 t＝0.12 s 时位于波谷 E．若此波传入另一介质中其波速变为 0.80 m/s，则它在该介质中的波长为 0.32 m 答案解析 1.答案　BCD 解析　若波向右传播，3 s＝(n＋)T1，解得 T1＝ s(n＝0,1,2…)；若波向左传播，3 s＝(n＋)T2 解得，T2＝ s(n＝0,1,2…)；由于 n 是整数，所以当周期大于 4 s 时，波 向左传播，若周期为 4 s，波一定向右传播，故 A 错误，B 正确．由题图知波长 λ＝6 m，若波速为 8.5 m/s，波传播的距离为 x＝vt＝8.5×3 m＝25.5 m＝4λ，根据 波形的平移可知，波一定向左传播，故 C 正确．波向左传播且 n＝0 时，周期最 大，为 T2＝12 s，该波波速可能的最小值为 v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故 D 正确． 2.答案 沿 x 轴正方向传播，v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)；沿 x 轴负方向传 播，v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)。 解析　根据题图乙知，该列波周期 T＝0.4 s，由 A、B 振动图像可知，若简谐波 沿 x 轴正方向传播，振动由质点 A 传播到质点 B 所需的时间为 tAB ＝nT＋T(n＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， … ) ， 根 据 波 速 定 义 式 有 ： v ＝ ， 联 立 解 得 ： v ＝ m/s(n ＝ 0，1，2，3，…)；由 A、B 振动图像可知，若简谐波沿 x 轴负方向传播，振动 由质点 B 传播到质点 A 所需的时间为 tBA＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，根据波 速定义式有：v＝，联立解得：v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)。 3.答案　(1)40 m　(2)30 m/s 解析　(1)若 P 比 Q 离波源近，波由 P 传到 Q，则 PQ 间的距离为：Δx＝(n＋)λ ＝30 m　(n＝0,1,2…)，因 P、Q 之间的距离小于一个波长，则 n 取 0，则得：λ ＝40 m (2)若 Q 比 P 离波源近，则有：Δx＝(n＋)λ′＝30 m　(n＝0,1,2…)，因 P、Q 之间 的距离小于一个波长，则 n 取 0，则得：λ′＝120 m，又 T＝4 s，解得 v＝＝30 m/s. 4.答案　BD 解析　分析波形图，可知波长 λ＝4 m，A 错误；设波沿 x 轴正方向传播，则 t1 ＝T，n＝0，1，2，…，其中 T＞4 s，则 n＝0 时，T＝24 s，波速 v＝＝ m/s ；n ＝1 时，T＝ s，波速 v＝ m/s；设波沿 x 轴负方向传播，则 t1＝T，n＝0，1，2， …，其中 T＞4 s，则 n＝0 时，T＝8 s，波速 v＝0.5 m/s，B、D 正确；当波沿 x 轴负方向传播时，T＝8 s，在 t＝9 s 时，B 质点在平衡位置下方，沿 y 轴负方向 运动，C 错误。 5.答案　AB 解析　由振动图像可知质点振动周期 T＝4 s，在 t＝0 时刻，a 点位于波谷，b 点 经过平衡位置向上，结合波形得：＝ λ(n＝0，1，2 ，… )，得： λ ＝ m(n＝ 0，1，2，…)，波速为 v＝＝ m/s (n＝0，1，2，…)。当 n＝0 时，波长最长，最 长波长为 m，波速最大，最大波速为 m/s，A、B 正确，C、D 错误。 6.答案 A 解析 设波的周期为 T，波沿 x 轴正方向传播，则 t＝T(n＝0，1，2，…)，得到 T＝＝ s(n＝0，1，2，…)。当 n＝0 时，T1＝0.80 s；当 n＝1 时，T2＝0.16 s；当 n＝2 时，T3＝ s…，再依据 v＝，那么当 n＝0 时，v1＝5 m/s；当 n＝1 时，v2＝ 25 m/s；当 n＝2 时，v3＝45 m/s…，A 正确，B、C、D 错误。 7.答案　AD 解析　由图可知，质点 Q 的起振方向沿 y 轴正方向，选项 A 正确；简谐横波的 传播方向从 P 到 Q，由图可知，周期 T＝6 s，从 P 传到 Q 的时间 Δt＝(4＋nT) s ，n＝0，1，2，…，即 Δt＝4 s，10 s，16 s，…，所以选项 B 错误；由 v＝＝ m/s，n＝0，1，2，…，速度 v 可能为 2.5 m/s，1 m/s，0.625 m/s，…，所以选项 C 错误；同理，由波的波长 λ＝vT 可得，波长可能为 15 m，6 m，3.75 m，…， 所以选项 D 正确。 8.答案　B 解析　由题意，P、Q 两点之间的距离为＋nλ＝0.15 m，n＝0，1，2，…，故 n ＝0 时，λ＝0.30 m，n＝1 时，λ＝0.10 m，选项 B 正确，其余选项错误。 9.答案 (1)2 m/s　(2)0.3 m/s　(3)(0.8＋n) m/s(n＝0，1，2，3，…) 解析 (1)依题意，周期 T＝0.4 s，波速 v＝＝ m/s＝2m/s。 (2)波沿 x 轴正方向传播，当 x＝0.2 m 的振动传到 P 点，P 点恰好第一次达到正 向最大位移。波传播的距离 Δx＝0.32 m－0.2 m＝0.12 m，波速 v＝＝ m/s＝0.3 m/s。 (3)波沿 x 轴正方向传播，若 P 点恰好第一次到达平衡位置则 Δx＝0.32 m，由周 期性，可知波传播的可能距离 Δx＝(0.32＋n) m(n＝0，1，2，3，…)，可能波速 v＝＝ m/s＝(0.8＋n) m/s(n＝0，1，2，3，…)。 10.答案　BC 解析　由波形图可知，波长 λ＝4 m，故 A 错误；横波沿 x 轴正方向传播，实线 为 t＝0 时的波形图，虚线为 t＝0.5 s