万有引力定律相关综合计算创优训练 1．宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 t 小球落到星球表面，测得抛 出点与落地点之间的距离为 L，若抛出时的初速度增大为原来的 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G，求∶ （1）抛出点的高度； （2）该星球的质量。 2．2021 年 5 月 15 日，中国首颗火星登陆器“天问一号”成功登陆火星，未来星际航行可能不久就会实现。 假如在火星表面离地高 h 处以初速度 v0 竖直向上抛出一小球，经过时间 t 小球落到地面。已知火星的半径 为 R，引力常量为 G，不计火星表面的气体阻力。求： （1）火星表面的重力加速度 g； （2）火星的质量 M。 3．2020 年 10 月 14 日发生了火星冲日，即火星、地球和太阳位于同一直线上，且火星与地球的距离达到 了最近，如图所示。火星和地球的相关数据如下表所示 行星 质量 绕太阳公转轨道半径 地球 6.0 �10 24 kg 1.5 �108 km 火星 6.4 �1023 kg 2.25 �108 km （1）求火星绕太阳的公转周期（计算结果以年为单位，保留一位小数，取 （2）估算相邻两次火星冲日的时间间隔。 绕太阳的公转周期 T1  1 1.5  1.22 年 ）； 4．2021 年 4 月 29 日，中国“天宫”空间站天和核心舱在海南文昌发射场发射升空，并准确进入预定轨道， 意味着我国载人航天工程空间站组装建设进入了新的阶段！已知天和核心舱在离地球表面 h 高处的轨道 上做周期为 T 的匀速圆周运动，地球的半径为 R，引力常量为 G。求∶ （1）天和核心舱在轨飞行的速度大小； （2）忽略地球的自转，地球表面的重力加速度大小； （3）地球的平均密度。 5．如图所示，A 是地球的一颗同步卫星，O 为地球中心，地球半径为 R，地球自转周期为 T0 。另一卫星 B 的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度 h  R ，地球表面的重力加速度大小为 g。 （1）求卫星 A 距地面的高度 h； （2）求卫星 B 的运行周期 T1 ； （3）某时刻 A、B 两卫星相距最近（O、B、A 三点在同一直线上），若卫星 B 运行方向与地球自转方向 相同，求 A、B 两卫星两次相距最近的最短时间间隔 t0 。（用 T0 和 T1 表示） 6．绕月探测工程、嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师、中科院院士叶培建在南京演讲时表示，中国载 人登月计划可能在 2025 年前后实现。假如我国宇航员登上月球并在月球表面离地 h 处将一个小球释放， 经过时间 t 小球落地。已知月球的半径为 R ，引力常量为 G ，求： （1）月球的质量 M ？ （2）现有一个月球探测器绕月近似做匀速圆周运动，探测器运行周期为 T ，则探测器轨道半径 r 7．太阳系八大行星几乎是在同一平面内沿同方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到土星和太阳之间， 且三者几乎成一条直线的现象，天文学称为“土星冲日”。已知地球公转轨道半径 转周期 T1  1 年，土星公转轨道半径 R2  9.5R1 ，地球公 。 （1）求土星绕日的公转周期 T2[计算结果保留到整数，可能用到的数 (9.5)3  857.4 R1  1.5 �108 km 9.5  3.08 ， (9.5)2  90.3 ， ； （2）估算两次“土星冲日”的最短时间间隔 t （用 T1 和 T2 表示）。 8．宇航员在某星球表面让一个小球以初速 v0 做竖直上抛运动，经过时间 t 小球落到星球表面。 （1）求该星球表面附近的重力加速度 g 星； （2）已知该星球的半径为 R，万有引力常量为 G，求该星球的质量 M； （3）要使物体不再落回星球表面，沿星球表面平抛出的速度至少应是多少？ 9．2005 年 10 月 12 日 15 时 54 分 45 秒，“神舟”六号飞船推进舱发动机点火，飞船开始变轨，飞船近地点 距离不断抬高，变轨后飞船轨道接近圆形，飞船将在这一圆形轨道上飞行直至返回。已知飞船在这一圆 形轨道上转一圈用时间为 T，地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g。试求： （1）地球的质量； （2）题中圆形轨道离地面的高度。（用题目中的已知量表示） 10．2018 年 11 月，我国成功发射第 41 颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”，这颗卫星是地球同步卫星， 其运行周期与地球的自转周期 T 相同。已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，万有引力常量 4 3 为 G 球的体积公式 V   R ，求： 3 （1）地球的质量； （2）地球的平均密度； （3）北斗导航卫星的轨道半径 r。 11．2020 年 5 月 5 日 18 时，“长征五号”B 运载火箭点火升空，宣告我国空间站阶段的首次飞行任务成功。 假设火箭从地面开始一直竖直向上做匀加速直线运动，加速度大小为 g （g 为地球表面重力加速度），火 4 箭中固定一水平放置的压力传感器，一物体一直放在传感器上，当火箭上升到距地面某一高度 H（未 知）时，压力传感器的示数恰好为火箭静止在地面时传感器示数的一半。已知地球的半径为 R，引力常量 为 G，忽略地球的自转，求： （1）地球的质量 M；（2）火箭距地面的高度 H。 12．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在 1682 年跟 踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍（如图所示），并预言这颗彗 星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时 间是 1986 年，请你根据开普勒第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？ 13．2021 年 5 月 15 日，在经历了 26 天的太空之旅后，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其 着陆组合体，成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破。在之前的 2 月 24 日，我国的“天问一号”火星探测器成功实施第三次近火制动，进入火星的椭圆形停泊轨道，该停泊 r1 r2 轨道近火点 P 距离火星中心为 、远火点 Q 距离火星中心为 ，且探测器在停泊轨道运行期间只有动能 和引力势能相互转化。已知火星的质量为 M，半径为 R，自转的周期为 T0 ，引力常量为 G。将火星视为均 匀球体。 （1）求相对火星静止的同步卫星距火星表面的高度 h； （2）“天问一号”火星探测器在该停泊轨道上稳定运行时的周期 T； Mm （3）已知“天问一号”与火星中心的距离为 r 时，引力势能为 Ep  G r （ Ep 取无穷远处引力势能为零）， 其中 m 为”天问一号”火星探测器的质量。求”天问一号”探测器从近火点 Р 到远火点 Q 的过程中动能的变化 量 Ek 。 14．英国《自然》杂志近日刊文盘点 2019 年重大科学新闻，中国“嫦娥四号”成功在月球背面软着陆入选 其中，使国人对月球的关注度大大提升。请分别解答下列有关月球的问题（均忽略星球自转影响）： （1）若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的半径为 r，将月球绕地球的运 动近似看成匀速圆周运动。求月球绕地球运动的线速度 v； （2）若一名宇航员随登月飞船登陆月球后，站在月球上水平抛出一个小球，测得抛出点高度为 h，落地 时间为 t。已知月球半径为 R� ，万有引力常量为 G。求月球的质量 M。 15．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释 放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落，经时间 t 落到月球表面。已知引力常量为 G，月球的半径为 R。求：（不考虑月球自转的影响） (1)月球表面的自由落体加速度大小 g 月； (2)月球的质量 M； 16．如图所示，在某质量分布均匀的行星，其表面重力加速度未知，在该行星表面上有一个匀质转盘， 转盘上两个质量均为 m 的物体 A、B 位于圆心的两侧，两物体 A、B 到圆心的距离分别为 L、2L。当角速 度为 ω 时，物体 B 刚要相对转盘发生相对滑动。已知两物体 A、B 与转盘间的动摩擦因数 μ（最大静摩擦 力等于滑动摩擦力）,行星的半径为 R，引力常量为 G，求： （1）B 刚要滑动时，A 所受的摩擦力大小是多少？ （2）此行星的质量； （3）此行星的第一宇宙速度大小。 17．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球由距星球表面高 h（h 远小于星球半径）处由静止 释放，小钢球经过时间 t 落到星球表面，该星球为密度均匀的球体，引力常量为 G。 （1）若该星球的半径为 R，忽略星球的自转，求该星球的密度； （2）若该星球的半径为 R，有一颗卫星在距该星球表面高度为 H 处的圆轨道上绕该星球做匀速圆周运动， 求该卫星的线速度大小和周期。 18．如图所示，已知“神舟十一号”从捕获“天宫二号”到实现对接用时为 t，这段时间内组合体绕地球转过的 角度为 θ（此过程轨道不变，速度大小不变）。地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转，求组合体运动的周期 T 及所在圆轨道离地高度 H。 参考答案： 3 2 3LR 2 M= 3Gt 2 1．（1） 3 L；（2） 【解析】 （1）设抛出点的高度为 h，第一次抛出时的水平射程为 x，当初速度变为原来 2 倍时，水平射程为 2x，则 由几何关系有 L2  h 2  x 2 ， ( 3L) 2  h 2  (2 x) 2 联立解得 3 h= 3 L （2）设该行星上重力加速度为 g，由平抛运动规律得 h 1 2 gt 2 由万有引力定律与牛顿第二定律有 G Mm  mg R2 由以上各式可解得 M= 2．（1） g 2 3LR 2 3Gt 2 2  h  v0t  2  h  v0t  R 2 M  ；（2） t2 Gt 2 【解析】 （1）取竖直向下为正方向，则由运动学公式可得 h  v0t  解得 1 2 gt 2 g 2  h  v0t  t2 （2）火星表面质量为 m 的物体所受重力等于万有引力，即 Mm  mg R2 G 解得 2  h  v0t  R 2 Gt 2 M 3．（1）1.8 年；（2）2.25 年 【解析】 （1）设火星绕太阳公转的周期为 T2，根据开普勒第三定律有 T12 T22  R13 R23 解得 T2 �1