万有引力定律 一、单选题 1．2021 年 3 月 31 日 6 时 45 分，“长征四号”丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空， 成功将“高分十二号”02 星送入预定轨道。小谭同学根据相关资料，画出了“高分十二 号”01 星和 02 星绕地球做匀速圆周运动的轨道，已知两颗卫星距地面的高度分别为 h2 ，周期分别为 T1 和 T2 h1 、 ，地球半径为 R ，则下列判断正确的是（　　） h13 T12  B． h23 T22 h1 T1  A． h2 T2  h1  R   T12 C．  h  R  3 T 2 2 2 3  h1  R  D．  h  R  2 2 2  T13 T23 2．2021 年 10 月 16 日，我国“神舟十三号”载人飞船成功发射，顺利与空间站实施对接。 对接后，“神舟十三号”与空间站在距离地面高度为 h 的轨道上一起绕地球做匀速圆周运 动。地球的半径为 R ，地球表面的重力加速度大小为 g ，忽略地球的自转。对接后， “神舟十三号”绕地球运行的周期为（　　） A． C． 2 R2 g ( R  h) 3 2 ( R  h)3 R2 g B． D．  R2 g ( R  h)3  ( R  h)3 R2 g 3．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整 条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，通过 A 点和曲线上紧邻 A 点 两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆叫作 A 点的曲率圆，其半径 ρ 叫做 A 点的 曲率半径。如图乙所示，行星绕太阳作椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近 日点 B 和远日点 C 到太阳中心的距离分别为 rB 和 rC，已知太阳质量为 M，行星质量为 m，万有引力常量为 G，行星通过 B 点处的速率为 vB，则椭圆轨道在 B 点的曲率半径 和行星通过 C 点处的速率分别为（　　） GM rB 2 vB 2 A． GM ， rC GM GM 2 B． vB ， rC rB rB 2 vB 2 vB C． GM ， rC rB GM vB 2 D． vB ， rC 4．2021 年 12 月 9 日，王亚平等 3 名航天员在距离地面 400 公里的中国空间站天和核 心舱完成首次授课，在接近完全失重状态下完成了“浮力消失”、“水膜张力”等 8 项内容， 根据上述信息，下列说法正确的是（　　） A．空间站始终处于我国领土上方某一位置 B．空间站绕地球运动速度小于第一宇宙速度 C．空间站内静止悬浮在空中的水球加速度为 0 D．水的浮力消失是因为空间站中的水处于完全失重状态，不受重力作用 5．2021 年 12 月 9 日，时隔 8 年之后，我国航天员再次进行太空授课，乒乓球浮力消 失实验是其中的一个实验。甲图是地面教室中的乒乓球浮在水面上，乙图是空间站中 的乒乓球停在水中的任意位置，则乒乓球浮力消失的原因是空间站中（　　） A．水处于完全失重状态 B．水的密度变小了 C．乒乓球的质量变大了 D．乒乓球的重力变大了 6．如图所示，a 为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b 为近地轨道卫星，c 为 同步轨道卫星，d 为高空探测卫星。若 a、b、c、d 绕地球转动的方向相同，且均可视 为匀速圆周运动。则（　　） A．a、b、c、d 中，a 的加速度最大 B．a、b、c、d 中，b 的线速度最大 C．a、b、c、d 中，c 的周期最大 D．a、b、c、d 中，d 的角速度最大 7．2021 年 10 月 16 日，“神舟十三号”飞船成功发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富 3 名航天员送入太空，并与“天和”核心舱顺利对接，如图所示。假设对接前它们在离地 面高约为 400km 的同一轨道上一前一后绕地球做匀速圆周运动，则此时“神舟十三号” 与“天和”核心舱（　　） A．均处于平衡状态 B．向心加速度均小于 9.8m/s2 C．运行周期均大于 24h D．“神舟十三号”若点火加速可以追上前面的“天和”核心舱 8．如图所示，人造卫星在轨道 3 上绕地球做匀速圆周运动，当卫星返回时，先在 Q 点 变轨沿椭圆轨道 2 运行，然后在近地点 P 变轨沿近地圆轨道 1 运行。下列说法正确的 是（　　） A．卫星从 Q 点往 P 点运动时，发动机不工作，卫星的运行速度不断变小 B．卫星从 Q 点往 P 点运动时，发动机一直工作，使卫星的运行速度不断变大 C．卫星在轨道 3 上运行的周期大于在轨道 2 上的运行周期 D．卫星在轨道 2 上的 P 点变轨时，要加速才能沿轨道 1 运动 二、多选题 9．中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的 MaxiJ1820+070 是一个由黑洞 和恒星组成的双星系统，距离地球约 10000 光年。根据观测，黑洞的质量大约是太阳 的 8 倍，恒星的质量只有太阳的一半，据此推断，该黑洞与恒星的（　　） A．向心力大小之比为 16∶1 B．角速度大小之比为 1∶1 C．线速度大小之比约为 1∶16 D．加速度大小之比约为 16∶1 10．如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星 P 的轨道示意图，其半径 为 R；曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动的卫星 Q 的轨道示意图，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，己知卫星 P、Q 的周期相等，万有引 力常量为 G，地球质量为 M，下列说法正确的是（　　） A．椭圆轨道的长轴长度为 R B．若 P 在Ⅰ轨道的加速度大小为 a0，Q 在Ⅱ轨道 A 点加速度大小为 aA，则 a0＜aA C．若 P 在Ⅰ轨道的速率为 v0，Q 在Ⅱ轨道 B 点的速率为 vB，则 v0＞vB D．卫星 P 与卫星 Q 在Ⅰ、Ⅱ轨道交点处受到的地球引力大小相等 11．观测到宇宙中有如图所示的一个三星系统：三颗星体 A、B、C 始终处于一条直线 上，A、C 两颗星围绕中间星体 B 做稳定的圆周运动；AB 之间和 BC 之间间距均为 L；已知 B 的质量为 m，A、C 的质量未知。三颗星体受到其他星体的作用力忽略不计， 万有引力常量 G 已知，则下列判断中正确的是（　　） A．可以比较星体 A、C 的线速度大小关系 B．可以比较三颗星体的质量大小关系 C．可以求得星体 A、C 做圆周运动的周期 D．可以比较三颗星体所受合力的大小关系 12．2021 年 12 月 9 日，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站 进行太空授课，在“天宫课堂”上，据王亚平介绍，在空间站中每天能看到 16 次日出。 则以下说法正确的是（　　） A．航天员向前踢腿后，身体将向后飞出 B．地球同步卫星的轨道半径约为天宫一号轨道半径的 43 4 倍 C．相同温度下，空间站中的水分子与地面上水分子的平均动能相等 D．在空间站中利用水膜做光的干涉实验，仍能观测到图示干涉条纹 13．我国已掌握“半弹道跳跃式高速再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠 定基础。如图所示，假设与地球同球心的虚线球面为地球大气层边界，虚线球面外侧 没有空气，返回舱从 a 点无动力滑入大气层，然后经 b 点从 c 点“跳出”，再经 d 点从 e 点“跃入”实现多次减速，可避免损坏返回舱。d 点为轨迹最高点，离地面高 h，已知地 球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G。则返回舱（　　） GM 2 A．在 d 点加速度小于 ( R  h) GM B．在 d 点速度小于 R  h C．虚线球面上 c、e 两点离地面高度相等，所以 vc 和 ve 大小相等 D．虚线球面上 a、c 两点离地面高度相等，所以 va 和 vc 大小相等 三、填空题 14．已知火星的半径为 R，火星的质量为 m 火，引力常量为 G，则火星的第一宇宙速度 为___________。 15．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也 是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所 受万有引力的___________倍； 16．两颗人造卫星 A、B 的质量之比 mA：mB=1：2，轨道半径之比 rA：rB=1：3，则两 颗卫星做圆周运动的向心力之比 FA：FB=_______，向心加速度之比 aA：aB=_______。 四、解答题 17．地球的质量约是月球质量的 81 倍，若登月飞船通过月地之间的某一个位置时，月 球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比约为多少？ 18．我国载人航天计划于 1992 年正式启动以来，航天领域的发展非常迅速。假若几年 后你成为一名宇航员并登上某未知星球，你沿水平方向以大小为 v0 的速度抛出一个小 球，发现小球经时间 5t 落到星球表面上，且速度方向与星球表面间的夹角为 θ，如图 所示。已知该未知星球的半径为 R，引力常量为 G。求： （1）该未知星球表面的重力加速度 g； （2）该未知星球的第一宇宙速度。 19．如图所示，地球的两个卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，已知卫星一运 行的周期为 T1=T0，地球的半径为 R0，卫星一和卫星二到地球中心之间的距离分别为 2  R1=2R0，R2=4R0，引力常量为 G，某时刻，两卫星与地心之间的夹角为 3 。求：（结 果均用 T0、R0、G 表示） （1）卫星二围绕地球做圆周运动的周期； （2）从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最近； （3）地球表面的重力加速度。 参考答案 1．C 【详解】 根据 G Mm1 4 2  m ( h  R ) 1 1 (h1  R ) 2 T12 G Mm2 4 2  m ( h  R ) 2 2 (h2  R) 2 T2 2 解得  h1  R   T12 3  h2  R  T22 3 故选 C。 2．C 【详解】 卫星做圆周运动的向心力由地球的引力提供，则根据 G Mm 4 2  m ( R  h) ( R  h)2 T2 其中 G Mm'  m' g R2 解得 T  2 ( R  h)3 R2 g 故选 C。 3．C 【详解】 根据曲率圆的定义分析，在 B 点时，万有引力提供向心力 G Mm vB 2  m rB 2 RB 解得曲率半径 RB  rB 2 vB 2 GM 根据椭圆的对称性可知，在 C 点处，曲率半径也为 RB，根据万有引力提供向心力 G vC 2 Mm  m rC 2 RB 解得行星通过 C 点处的速率 vC  rB vB rC 故选