一.必备知识精讲 1.人船模型 如图所示，长为 L、质量为 m 船的小船停在静水中，质量为 m 人的人由静止开始从船的一 端走到船的另一端，不计水的阻力。 以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平 方向不受外力作用，所以整个系统水平方向动量守恒，可得：m 船 v 船＝m 人 v 人， 因人和船组成的系统动量始终守恒， 故有：m 船 x 船＝m 人 x 人， 由图可看出：x 船＋x 人＝L， 可解得：x 人＝L，x 船＝L。 2.类人船模型 （1）人沿着静止在空中的热气球下面的软梯滑下或攀上，求热气球上升或下降高度的问 题； （2）小球沿放在光滑水平地面上的弧形槽滑下，求弧形槽移动距离的问题等。 二.典型例题精讲： 题型一：人船模型 例 1：有一只小船停靠在湖边码头，小船又窄又长(重一吨左右)．一位同学想用一个卷尺 粗略测定它的质量．他进行了如下操作：首先将船平行于码头自由停泊，轻轻从船尾上船， 走到船头停下，而后轻轻下船．用卷尺测出船后退的距离 d，然后用卷尺测出船长 L.已知他 的自身质量为 m，水的阻力不计，则船的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设船的质量为 M，人走动的时候船的速度为 v，人的速度为 v′，人从船头走到船尾用时 为 t，人的位移为 L－d，船的位移为 d，所以 v＝，v′＝.以船后退的方向为正方向，根据动量 守恒有：Mv－mv′＝0，可得：M ＝，小船的质量为：M＝，故 B 正确． 题型二：类“人船模型” 例 2：载人气球静止于高 h 的空中，气球的质量为 M，人的质量为 m，若人沿绳梯滑至 地面，则绳梯至少为多长？ 答案：　h 解析：气球和人原来静止在空中，说明系统所受合力为零，故系统在人下滑过程中动量 守恒，人着地时绳梯至少应接触地面，设绳梯长为 L，人沿绳梯滑至地面，人的位移大小为 x ，气球的位移大小为 x 球，它们的位移状态图如图所示， 人 由动量守恒定律有：0＝Mx 球－mx 人， 又有 x 球＋x 人＝L，x 人＝h，故 L＝h。 例 3：如图所示，一个倾角为 α 的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为 M， 顶端高度为 h，今有一质量为 m 的小物体，沿光滑斜面下滑，当小物体从斜面顶端自由下滑 到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　m 与 M 组成的系统在水平方向上动量守恒，设 m 在水平方向上对地位移大小为 x1， M 在水平方向上对地位移大小为 x2，因此有 0＝mx1－Mx2。① 且 x1＋x2＝。② 由①②可得 x2＝，故 C 正确。 三.举一反三，巩固练习 1.有一只小船停靠在湖边码头，小船又窄又长(估计重一吨左右)。一位同学想用一个卷尺 粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行于码头自由停泊，轻轻从船尾上船， 走到船头停下，而后轻轻下船。用卷尺测出船后退的距离 d，然后用卷尺测出船长 L。已知他 的自身质量为 m，水的阻力不计，船的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设人走动时船的速度大小为 v，人的速度大小为 v′，人从船尾走到船头所用时间为 t。取船的速度方向为正方向，则 v＝，v′＝；根据动量守恒定律有： Mv－mv′＝0，则：M＝ m，解得船的质量为：M＝，故 A 正确。 2.光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为 α 的斜面体 A，斜面体质量为 M、底边长为 L， 如图 3 所示．将一质量为 m、可视为质点的滑块 B 从斜面的顶端由静止释放，滑块 B 经过时 间 t 刚好滑到斜面底端．此过程中斜面对滑块的支持力大小为 FN，重力加速度为 g，则下列说 法中正确的是(　　) 图3 A．FN＝mgcos α B．滑块下滑过程中支持力对 B 的冲量大小为 FNtcos α C．滑块 B 下滑的过程中 A、B 组成的系统动量守恒 D．此过程中斜面体向左滑动的距离为 L 答案　D 解析　当滑块 B 相对于斜面加速下滑时，斜面体 A 水平向左加速运动，所以滑块 B 相对于地 面的加速度方向不再沿斜面方向，即沿垂直于斜面方向的合外力不再为零，所以斜面对滑块 的支持力 FN 不等于 mgcos α，A 错误；滑块 B 下滑过程中支持力对 B 的冲量大小为 FNt，B 错 误；由于滑块 B 有竖直方向的分加速度，所以 A、B 组成的系统竖直方向合外力不为零，系统 的动量不守恒，C 错误； A、B 组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，设 A 、B 的水平位移大小分别为 x1、x2，则 Mx1＝mx2，x1＋x2＝L，解得 x1＝L，D 正确． 3.如图所示，小物块甲紧靠轨道 BCD 静置于光滑水平面上，轨道 BCD 由水平轨道 CD 及 与 CD 相切于 C 点的光滑圆弧轨道组成，圆弧轨道的半径为 R。现将小物块乙(视为质点)从 B 点正上方到 B 点高度为 R 的 P 点由静止释放，乙从 B 点沿切线方向进入圆弧轨道，恰好不会 从水平轨道 CD 的左端 D 点掉落。已知甲、乙以及轨道 BCD 的质量相同，乙与 CD 间的动摩 擦因数 μ＝0.5，重力加速度大小为 g。求： (1)乙通过 C 点时的速度大小 v1； (2)CD 的长度 L 以及乙在 CD 上滑行的时间 t； (3)在乙从 B 点开始滑到 D 点的时间内，轨道 BCD 的位移大小 x。 答案　(1) 　(2)3R　　(3)R 解析　(1)设乙的质量为 m，当乙滑到 C 点时，轨道 BCD 与甲的共同速度大小为 v2，甲、 乙及轨道组成的系统水平方向动量守恒，有 mv1－2mv2＝0， 乙滑到 C 点之前，甲、乙及轨道组成的系统机械能守恒，有 mg×2R＝mv＋×2mv 解得 v1＝，v2＝。 (2)乙滑到 C 点后，轨道 BCD 与甲分离，设轨道 BCD 与乙速度相同时的速度大小为 v，乙 从 C 点滑到 D 点的过程中，对乙和轨道 BCD 组成的系统，以水平向左为正方向，由动量守恒 定律和能量守恒定律得 mv1－mv2＝2mv mv＋mv－×2mv2＝μmgL 则 v＝＝ 解得 L＝3R； 设乙从 C 点滑到 D 点的过程中的加速度大小为 a，由牛顿第二定律有 μmg＝ma 乙从 C 点滑到 D 点的过程做匀减速直线运动，有 v＝v1－at 解得 t＝ 。 (3)设乙从 B 点滑到 C 点的时间为 t1，该过程轨道 BCD 通过的距离为 x1，甲、乙及轨道组 成的系统水平方向动量守恒，有 2m·－m＝0 设乙沿轨道 BCD 从 C 点运动到 D 点的过程中轨道 BCD 通过的距离为 x2，由动能定理有 －μmgx2＝mv2－mv 经分析可知 x＝x1＋x2 解得 x＝R。